Podstawowa zasada liczenia, zwana również zasadą multiplikatywną, służy do znajdowania liczby możliwości zdarzenia składającego się z n etapów. W tym celu kroki muszą być następujące po sobie i niezależne.
Jeśli pierwszy etap zdarzenia ma x możliwości, a drugi etap składa się z y możliwości, to jest x. i możliwości.
Dlatego podstawową zasadą liczenia jest mnożenie podanych opcji w celu określenia całkowitych możliwości.
Ta koncepcja jest ważna dla analizy kombinatorycznej, obszaru matematyki, który skupia metody rozwiązywania problemów które obejmują liczenie i dlatego jest bardzo przydatne w badaniu możliwości określenia prawdopodobieństwa zjawiska.
Przykład 1
João mieszka w hotelu i zamierza odwiedzić zabytkowe centrum miasta. Z hotelu kursują 3 linie metra do centrum handlowego oraz 4 autobusy kursujące z centrum handlowego do zabytkowego centrum.
Na ile sposobów João może opuścić hotel i dotrzeć do zabytkowego centrum przez centrum handlowe?
Rozwiązanie: Diagram drzewa lub drzewo możliwości jest przydatny do analizy struktury problemu i wizualizacji liczby kombinacji.
Zwróć uwagę, jak weryfikacja kombinacji została wykonana za pomocą schemat drzewa.
Jeżeli są 3 możliwości wyjścia z hotelu i dotarcia do centrum handlowego, a z centrum handlowego do historycznego centrum mamy 4 możliwości, to łączna liczba możliwości wynosi 12.
Innym sposobem rozwiązania tego przykładu byłaby podstawowa zasada liczenia, czyli mnożenie możliwości, czyli 3 x 4 = 12.
Przykład 2
Restauracja posiada w swoim menu 2 rodzaje przystawek, 3 rodzaje dań głównych oraz 2 rodzaje deserów. Ile menu można by ułożyć na posiłek z przystawką, daniem głównym i deserem?
Rozwiązanie: Użyjemy drzewa możliwości, aby zrozumieć układ menu z przystawką (E), daniem głównym (P) i deserem (S).
Zgodnie z podstawową zasadą liczenia mamy: 2 x 3 x 2 = 12. W związku z tym można było stworzyć 12 menu z przystawką, daniem głównym i deserem.
rozwiązane ćwiczenia
Pytanie 1
Ana organizowała podróż i spakowała do walizki 3 spodnie, 4 bluzki i 2 buty. Ile kombinacji może stworzyć Ana ze spodniami, bluzką i butem?
a) 12 kombinacji
b) 32 kombinacje
c) 24 kombinacje
d) 16 kombinacji
Prawidłowa alternatywa: c) 24 kombinacje.
Pamiętaj, że dla każdej z 4 bluzek Ana ma 3 opcje spodni i 2 opcje butów.
Czyli 4 x 3 x 2 = 24 możliwości.
W ten sposób Ana może tworzyć 24 kombinacje z kawałkami walizki. Sprawdź wyniki z drzewem możliwości.
pytanie 2
Nauczyciel opracował test z 5 pytaniami, na które uczniowie musieli odpowiedzieć, zaznaczając przy każdym pytaniu prawdę (T) lub fałsz (F). Na ile różnych sposobów można odpowiedzieć na test?
a) 25
b) 40
c) 24
d) 32
Prawidłowa alternatywa: d) 32 możliwe odpowiedzi.
Istnieją dwie różne opcje odpowiedzi w sekwencji pięciu pytań.
Stosując podstawową zasadę liczenia, mamy:
2.2.2.2.2 = 32 możliwe odpowiedzi do testu.
pytanie 3
Na ile sposobów można utworzyć 3-cyfrową liczbę za pomocą 0, 1, 2, 3, 4 i 5?
a) 200
b) 150
c) 250
d) 100
Prawidłowa alternatywa: d) 100.
Utworzony numer musi zawierać 3 cyfry, aby wypełnić pozycję stu, dziesięciu i jednego.
Na pierwszej pozycji nie możemy umieścić liczby 0, ponieważ byłoby to to samo, co liczba dwucyfrowa. Tak więc dla stu mamy 5-cyfrowe opcje (1, 2, 3, 4, 5).
Na drugiej pozycji nie możemy powtórzyć liczby, która została użyta na sto, ale możemy użyć zera, więc w dziesiątce mamy również opcje 5-cyfrowe.
Ponieważ dostaliśmy 6 cyfr (0, 1, 2, 3, 4 i 5) i dwie, które były używane wcześniej, nie mogą się powtórzyć, więc dla jednostki mamy opcje 4-cyfrowe.
Czyli 5 x 5 x 4 = 100. Mamy 100 sposobów na zapisanie 3-cyfrowej liczby za pomocą 0, 1, 2, 3, 4 i 5.
Zdobądź więcej wiedzy dzięki następującym tekstom:
- Analiza kombinatoryczna
- Permutacja
- Prawdopodobieństwo
- Ćwiczenia z analizy kombinatorycznej
- Ćwiczenia prawdopodobieństwa
