O trójkąt równoboczny jest płaską figurą geometryczną, której główną cechą jest trzy przystające strony, czyli pomiar tych trzech boków jest taki sam.
Ten fakt generuje natychmiastową konsekwencję, trzy kąty wewnętrzne części tego trójkąta są również sobie równe. Także to trójkąt ma ważne właściwości geometryczne, które ułatwiają rozwiązywanie niektórych sytuacji problemowych.
Przeczytaj też: Jaki jest warunek istnienia trójkąta?
Własności trójkątów równobocznych
Trójkąt równoboczny ma pewne właściwości, które ułatwiają rozwiązanie niektórych sytuacji problemowych.
Właściwość 1 – Wszystkie wewnętrzne kąty trójkąta równobocznego mierzą 60°.
Właściwość 2 – Wysokość (odcinek prostopadły do jednego z boków), środkowa (odcinek dzielący jeden bok na pół) i dwusieczna (odcinek dzielący kąt na pół) są zbieżne.
Obwód trójkąta równobocznego
Wiemy, że obwód wielokąta każdy jest podany przez suma pomiarów ze wszystkich stron, a w trójkącie równobocznym idea nie jest inna. Ponieważ trójkąt równoboczny ma wszystkie boki równe, możemy znaleźć wzór, który ułatwi obliczenie obwodu.
Rozważ trójkąt równoboczny o boku l:
Ponieważ obwód jest sumą wszystkich boków, to:
2P = l + l + l
2P = 3 · l
Zapamiętaj notacja obwodu to 2P. Używamy litery P do reprezentowania półobwodu. Formuła mówi, że do obliczenia obwód trójkąta równobocznego wystarczy pomnożyć pomiar boku przez 3.
- Przykład
Określ obwód trójkąta równobocznego o boku 4 cm.
Podstawiając wartość boku w wyprowadzonej formule, otrzymujemy:
2P = 3 · l
2P = 3 · 4
2P = 12 cm
A więc obwód wynosi 12 centymetrów.
Przeczytaj też: Podobieństwo trójkątów: jakie są przypadki?
obszar trójkąta równobocznego
Aby obliczyć powierzchnię trójkąta równobocznego, początkowo wykreślamy wysokość względem jednego z jego boków. Z właściwości wiemy, że wysokość pokrywa się z medianą, czyli podczas wykreślania wysokości bok dzieli się na pół.
Wiemy, że pole dowolnego trójkąta jest podane przez pomnożenie podstawy przez wysokość i dzielenie przez 2.
Zauważ, że wartość podstawowa jest znana w przypadku 1, jednak wartość wysokości jest nieznana. Tak więc, aby określić obszar trójkąta równobocznego, najpierw należy znaleźć jego wysokość. W tym celu użyjemy twierdzenie Pitagorasa:
Skoro znamy już pomiar wysokości, możemy go podstawić do wzoru na pole trójkąta.
Przykład
Wyznacz obszar trójkąta równobocznego, którego bok mierzy 4 cm.
Aby obliczyć powierzchnię trójkąta równobocznego, po prostu zastąp miarę boku we wzorze, wiedząc, że we wzorze l reprezentuje tę miarę. Więc mamy:
rozwiązane ćwiczenia
Pytanie 1 – Rolnik musiał zbudować zagrodę, żeby jego ferma drobiu nie uciekła. Podczas realizacji projektu zauważył, że obudowa miałaby mieć formę trójkąta równobocznego o długości 3 metrów z jednej strony. Ile metrów ogrodzenia będzie musiał kupić ten rolnik? Wiedząc, że każdy metr kosztuje 4 reale i 50 centów, ile wyda?
Rozkład
Teren rolnika może być reprezentowany przez:
Obwód jest określony przez:
2P = 3 · 3
2P = 9m
Ponieważ każdy metr kosztuje 4,50 reala, rolnik wyda 9-krotność tej kwoty:
wydane = 4,5 · 9
wydane = 40,5
Dlatego rolnik wyda 40 reali i 50 centów.
pytanie 2 – Firma produkująca płytki musi pokryć dno basenu 1 m płytkami2. Basen ma kształt 6-metrowego trójkąta równobocznego. Określ ilość płytek do użycia.
(Biorąc pod uwagę: Użyj √3 = 1,7)
Rozkład
Wstępnie ustaliliśmy obszar basenu.
Ponieważ każda płytka ma 1 m²2, wtedy trzeba będzie kupić 16 płytek, ponieważ 0,3 płytki nie jest sprzedawane.
