TEN Kwatera główna jest powszechnie używany do organizowania danych tabelarycznych w celu ułatwienia rozwiązywania problemów. Informacje macierzowe, numeryczne lub nie, są uporządkowane w rzędach i kolumnach.
Zbiór macierzy wyposażonych w operacje dodanie, odejmowanie i mnożenie i cechy, jako element neutralny i odwrotny, tworzą strukturę matematyczną, która umożliwia jego zastosowanie w różnych dziedzinach tego ogromnego obszaru wiedzy.
Zobacz też: Związek między układami macierzowymi i liniowymi
Reprezentacja macierzowa
Przed przystąpieniem do badań nad macierzami konieczne jest ustalenie pewnych zapisów dotyczących ich reprezentacji. W macierze są zawsze reprezentowane wielkimi literami. (A, B, C…), którym towarzyszą indeksy, w których pierwsza liczba oznacza liczbę rzędów, a druga liczbę kolumn.
TEN Liczba linii (rzędy poziome) i kolumny (pionowe rzędy) macierzy określa jej zamówienie. Macierz A ma porządek m przez n. Informacje zawarte w tablicy nazywają się elementy i są ułożone w nawiasy, nawiasy kwadratowe lub dwie pionowe kreski, patrz przykłady:
Macierz A ma dwa wiersze i trzy kolumny, więc jej kolejność to dwa na trzy → A2x3.
Macierz B ma jeden wiersz i cztery kolumny, więc jej kolejność jest jedna na cztery, więc nazywa się macierz linii → B1x4.
Macierz C ma trzy wiersze i jedną kolumnę, dlatego nazywa się macierz kolumn a jego kolejność to trzy na jeden → C3x1.
Możemy ogólnie reprezentować elementy tablicy, to znaczy możemy zapisać ten element za pomocą reprezentacji matematycznej. Oelement ogólny będzie reprezentowany przez małe litery (a, b, c…) i podobnie jak w przypadku reprezentacji tablic posiada również indeks wskazujący jego położenie. Pierwsza liczba wskazuje wiersz, w którym znajduje się element, a druga liczba wskazuje kolumnę, w której się znajduje.
Rozważ następującą macierz A, wymienimy jej elementy.
Obserwując pierwszy element, który znajduje się w pierwszym wierszu i pierwszej kolumnie, czyli w pierwszym rzędzie i pierwszej kolumnie, mamy numer 4. Aby ułatwić sobie pisanie, oznaczymy je przez:
11 → linia jeden element, kolumna pierwsza
Mamy więc następujące elementy macierzy A2x3:
11 = 4
12 =16
13 = 25
21 = 81
22 = 100
23 = 9
Ogólnie rzecz biorąc, możemy napisać tablicę jako funkcję jej elementów ogólnych, to jest ogólna macierz.
Macierz składająca się z m wierszy i n kolumn jest reprezentowana przez:
Przykład
Wyznacz macierz A = [aij ]2x2, który ma następujące przepisy dotyczące szkoleń, abyij = j2 – 2i. Z danych zestawienia wynika, że macierz A jest rzędu dwa na dwa, czyli ma dwa wiersze i dwie kolumny, a więc:
Dodatkowo podano prawo tworzenia macierzy, czyli każdy element jest zadowolony z relacji doij = j2 – 2i. Podstawiając wartości i oraz j we wzorze otrzymujemy:
11 = (1)2 - 2(1) = -1
12 = (2)2 - 2(1) = 2
21 = (1)2 - 2(2) = -3
22 = (2)2 - 2(2) = 0
Dlatego macierz A to:
Teraz nie przestawaj... Po reklamie jest więcej ;)
Typy tablic
Niektóre matryce zasługują na szczególną uwagę, zobacz te rodzaje tablic z przykładami.
macierz kwadratowa
Matryca jest kwadratowa, gdy liczba wierszy równa się liczbie kolumn. Reprezentujemy macierz, która ma n wierszy i n kolumn przez ANie (czytaj: macierz kwadratowa rzędu n).
W macierzach kwadratowych mamy dwa bardzo ważne elementy, przekątne: główna i wtórna. Główną przekątną tworzą elementy o równych indeksach, czyli każdy element aij gdzie i = j. Drugą przekątną tworzą elementy a elementsij gdzie i + j = n +1, gdzie n jest porządkiem macierzy.
macierz jednostkowa
Macierz tożsamości to macierz kwadratowa, która ma wszystkotyelementy głównej przekątnej równe 1 i pozostałe elementy równe 0, jego prawo powstania to:
Oznaczymy tę macierz przez I, gdzie n jest rzędem macierzy kwadratowej, zobacz kilka przykładów:
macierz jednostek
Jest to macierz kwadratowa rzędu pierwszego, to znaczy ma wiersz i kolumnę, a zatem tylko jeden element.
A = [-1]1x1, B = I1 = (1)1x1 i C = || 5||1x1
Są to przykłady macierzy jednostkowych, z naciskiem na macierz B, która jest a macierz tożsamości jednostki.
zerowa macierz
Mówi się, że tablica jest pusta, jeśli wszystkie jej elementy są równe zeru. Reprezentujemy zerową macierz rzędu m przez n przez Omxn.
Macierz O ma wartość null rzędu 4.
przeciwna macierz
Rozważ dwie macierze równego rzędu: A = [aij]mxn i B = [bij]mxn. Macierze te będą nazywane przeciwstawnymi wtedy i tylko wtedy, gdyij = -bij. A zatem, odpowiednie elementy muszą być liczby przeciwne.
Możemy przedstawić macierz B = -A.
transponowana macierz
Dwie macierze A = [aij]mxn i B = [bij]nxm oni są transponowany wtedy i tylko wtedy, gdyij = bJi , czyli mając macierz A, aby znaleźć jej transpozycję, po prostu weź wiersze jako kolumny.
Transpozycja macierzy A jest oznaczona przez AT. Zobacz przykład:
Zobacz więcej: Macierz odwrotna: co to jest i jak weryfikować
Operacje na macierzach
Zbiór macierzy ma operacje abardzo dobrze zdefiniowane dodawanie i mnożenie, to znaczy za każdym razem, gdy operujemy dwiema lub więcej macierzami, wynik operacji nadal należy do zbioru macierzy. A co z operacją odejmowania? Rozumiemy tę operację jako odwrotność dodawania (matrycy przeciwnej), która również jest bardzo dobrze zdefiniowana.
Zanim zdefiniujemy operacje, zrozummy idee odpowiedni element i równość macierzy. Odpowiadające elementy to te, które zajmują tę samą pozycję w różnych macierzach, to znaczy znajdują się w tym samym wierszu i kolumnie. Oczywiście tablice muszą być tej samej kolejności, aby pasujące elementy istniały. Popatrz:
Elementy 14 i -14 są odpowiadającymi sobie elementami przeciwległych macierzy A i B, ponieważ zajmują tę samą pozycję (ten sam wiersz i kolumna).
Dwie macierze zostaną uznane za równe wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadające im elementy są równe. Tak więc, biorąc pod uwagę macierze A = [aij]mxn i B = [bij]mxn, będą takie same wtedy i tylko wtedy, gdyij = bij dla każdego i j.
Przykład
Wiedząc, że macierze A i B są sobie równe, wyznacz wartości x i t.
Ponieważ macierze A i B są równe, to odpowiadające im elementy muszą być równe, a zatem:
x = -1 i t = 1
Dodawanie i odejmowanie macierzy
Operacje dodawanie i odejmowanie między macierzami są dość intuicyjne, ale najpierw musi być spełniony warunek. Aby wykonać te operacje, najpierw należy sprawdzić, czy rzędy tablic są równe.
Po zweryfikowaniu tego warunku dodawanie i odejmowanie macierzy odbywa się poprzez dodawanie lub odejmowanie odpowiednich elementów macierzy. Rozważ macierze A = [aij]mxn i B = [bij]mxn, następnie:
A + B = [aij + bij] mxn
A - B = [aij - Bij] mxn
Przykład
Rozważ macierze A i B poniżej, wyznacz A + B i A – B.
Przeczytaj też: Operacje na liczbach całkowitych
Mnożenie liczby rzeczywistej przez macierz
Mnożenie liczby rzeczywistej w macierzy (znanej również jako mnożenie macierzy) przez skalar jest obliczane przez pomnożenie każdego elementu macierzy przez skalar.
Niech A = [aij]mxn macierz i t liczba rzeczywista, więc:
t · A = [t · aij]mxn
Zobacz przykład:
Mnożenie macierzy
Mnożenie macierzy nie jest tak trywialne, jak ich dodawanie i odejmowanie. Przed wykonaniem mnożenia musi być również spełniony warunek dotyczący kolejności macierzy. Rozważ macierze Amxn oraz bnxr.
Aby wykonać mnożenie, liczba kolumn w pierwszej macierzy musi być równa liczbie wierszy w drugiej. Macierz iloczynu (pochodząca z mnożenia) ma porządek określony liczbą wierszy w pierwszym i liczbą kolumn w drugim.
Aby wykonać mnożenie między macierzami A i B, musimy pomnożyć każdy z wierszy przez wszystkie kolumny w następujący sposób: pierwszy element z A jest mnożone przez pierwszy element B, a następnie dodawane do drugiego elementu A i mnożone przez drugi element B, i tak sukcesywnie. Zobacz przykład:
Przeczytaj też: Twierdzenie Laplace'a: wiedzieć, jak i kiedy używać
rozwiązane ćwiczenia
Pytanie 1 – (U. I. Londrina – PR) Niech macierze A i B będą odpowiednio 3 x 4 i p x q, a jeśli macierz A · B ma rząd 3 x 5, to prawdą jest, że:
a) p = 5 i q = 5
b) p = 4 i q = 5
c) p = 3 i q = 5
d) p = 3 i q = 4
e) p = 3 i q = 3
Rozwiązanie
Mamy oświadczenie, że:
TEN3x4 · Bpxq = C3x5
Z warunku do pomnożenia dwóch macierzy mamy, że iloczyn istnieje tylko wtedy, gdy liczba kolumn w pierwszej jest równa liczbie wierszy w drugiej, czyli p = 4. Wiemy też, że macierz iloczynu jest dana przez liczbę wierszy w pierwszym z liczbą kolumn w drugim, czyli q = 5.
Dlatego p = 4 i q = 5.
O: Alternatywa b
Pytanie 2 - (Vunesp) Określ wartości x, y i z, na następującej równości, obejmujące 2 x 2 macierze rzeczywiste.
Rozwiązanie
Wykonajmy operacje między tablicami, a następnie równość między nimi.
Aby określić wartość x, y i z, rozwiążemy układ liniowy. Najpierw dodajmy równania (1) i (2).
2x – 4= 0
2x = 4
x = 2
Podstawiając wartość x znalezioną w równaniu (3), otrzymujemy:
22 = 2z
2z = 4
z = 2
I wreszcie, podstawiając wartości x i z znalezione w równaniu (1) lub (2), otrzymujemy:
x + y - z = 0
2+y – 2 = 0
y=0
Dlatego rozwiązanie problemu jest dane przez S = {(2, 0, 2)}.
Robson Luiz
Nauczyciel matematyki
