Pryzmaty są figurami trójwymiarowymi utworzonymi przez dwie przystające i równoległe bazy, bazy z kolei tworzą wielokąty wypukłe. Inne ściany, które są nazwane ścianami bocznymi, są tworzone przez równoległoboki. Aby określić pole pryzmatu, konieczne jest wykonanie jego planowanie a następnie obliczyć powierzchnię płaskiej figury.
Przeczytaj też: Różnice między figurami płaskimi a przestrzennymi
Planowanie pryzmatu
Ideą planowania jest przekształcenie trójwymiarowej postaci w figura dwuwymiarowa. W praktyce byłoby to równoznaczne z przecięciem krawędzi pryzmatu. Poniżej przykład planowania trójkątnego pryzmatu.
Ten sam proces można zastosować dla każdego pryzmatuNależy jednak pamiętać, że w miarę zwiększania liczby boków wielokątów bazowych zadanie staje się coraz trudniejsze. Z tego powodu dokonamy uogólnień na podstawie planowania tego wielokąt.
Obliczanie powierzchni bocznej
Obserwując obraz pryzmatu trójkątnego mamy, że równoległoboki ABFC, ABFD i ACDE są boczne twarze. Zwróć uwagę, że boki pryzmatu zawsze będą równoległobokami
niezależnie od liczby boków wielokątów bazowych dzieje się tak, ponieważ są one równoległe i przystające.Patrząc na trójkątną figurę pryzmatu, widzimy również, że mamy trzy boczne ściany. Wynika to z liczby boków wielokąta podstawy, to znaczy, jeśli podstawy pryzmatu są czworokątne, będziemy mieć cztery ściany boczne, jeśli podstawy są pięciokątem, będziemy mieć pięć ścian bocznych i tak dalej. A zatem: liczba boków wielokąta bazowego wpływa na liczbę bocznych ścian pryzmatu.
Dlatego też obszar boczny (AL) dowolnego pryzmatu jest podana przez pole powierzchni bocznej pomnożonej przez liczbę ścian bocznych, to znaczy jest to powierzchnia równoległoboku pomnożona przez liczbę boków twarzy.
TENL = (podstawa · wysokość) · liczba boków lica
Przykład
Oblicz boczną powierzchnię graniastosłupa sześciokątnego foremnego o krawędzi podstawy równej 3 cm i wysokości równej 11 cm.
Omawiany pryzmat jest reprezentowany przez:
Powierzchnia boczna jest wtedy obliczana przez powierzchnię prostokąta razy liczbę boków wielokąta bazowego, która wynosi 6, a więc:
TENL = (podstawa · wysokość) · liczba boków lica
TENL = (3 · 11) · 6
TENL = 198 cm2
Teraz nie przestawaj... Po reklamie jest więcej ;)
Obliczanie powierzchni bazowej
TEN obszar bazowy (TENb) pryzmatu zależy od wielokąta, który go tworzy. Tak jak w pryzmacie mamy dwie równoległe i przystające ściany, pole bazowe jest sumą pól wielokątów równoległych, czyli dwukrotnością pola wielokąta.
TENb = 2 · powierzchnia wielokąta
Przeczytaj też:Płaskie obszary figur
Przykład
Oblicz powierzchnię podstawy graniastosłupa sześciokątnego foremnego o krawędzi podstawy równej 3 cm i wysokości równej 11 cm.
Podstawą tego pryzmatu jest sześciokąt foremny, a ten z góry wygląda następująco:
Zwróć uwagę, że trójkąty utworzone wewnątrz sześciokąta są równoboczne, więc powierzchnia sześciokąta jest podana przez sześciokrotność obszar trójkąta równobocznego.
Zauważ jednak, że w pryzmacie mamy dwa sześciokąty, więc powierzchnia podstawy jest dwukrotnie większa od powierzchni wielokąta.
Obliczanie całkowitej powierzchni
TEN powierzchnia całkowita (AT) pryzmatu jest sumą powierzchni bocznej (TENL) z podstawą (TENb).
TENT = AL + Ab
Przykład
Oblicz całkowitą powierzchnię graniastosłupa sześciokątnego foremnego o krawędzi podstawy równej 3 cm i wysokości równej 11 cm.
Z poprzednich przykładów mamy, że AL = 198 cm2 ib = 27√3 cm2. W związku z tym całkowita powierzchnia jest podana przez:
rozwiązane ćwiczenia
Pytanie 1 – Wiata ma kształt graniastosłupa opartego na trapezie, jak pokazano na rysunku.
Chcesz pomalować tę szopę i wiadomo, że cena farby to 20 reali za metr kwadratowy. Ile będzie kosztowało pomalowanie tej szopy? (Dane: √2 = 1,4)
Rozwiązanie
Początkowo określmy obszar szopy. Jego podstawą jest trapez, więc:
Dlatego obszar bazowy to:
TENb = 2 ·Atrapez
TENb = 2 ·10
TENb = 20 m2
Obszar boczny na czerwono to prostokąt, a my mamy dół, więc ten obszar to:
TENV = 2 · 4· 14
TENV= 112 mln2
Obszar zaznaczony na niebiesko też jest prostokątem, ale nie mamy jego podstawy. Używając twierdzenie Pitagorasa w trójkącie utworzonym przez trapez mamy:
x2 = 22 + 22
x2 = 8
x = 2√2
Tak więc obszar prostokąta w kolorze niebieskim to:
TENTEN = 2 ·14·2√2
TENTEN = 54√2 m2
Dlatego boczna powierzchnia pryzmatu jest równa:
TENL = 112 + 54√2
TENL = 112 + 75,6
TENL = 187,6 mln2
I tak całkowita powierzchnia tego pryzmatu wynosi:
TENT= 20 + 187,6
TENT= 207,6 m2
Ponieważ cena farby wynosi 20 reali za metr kwadratowy, kwota wydana na pomalowanie szopy wynosi:
20 ·207,6 = 4152 reali
Odpowiadać: Kwota wydana na pomalowanie szopy to 4 152,00 R$
Robson Luiz
Nauczyciel matematyki
