Weź pod uwagę równanie wielomianowe poniżej, gdzie wszystkie współczynniki Niesą liczbami całkowitymi:
NiexNie +n-1xn-1 +n-2xn-2 + … +2x2 +1x + a0 = 0
O Twierdzenie o racjonalnych pierwiastkach gwarantuje, że jeśli to równanie dopuszcza liczbę wymierną P/co jako root (z P
, co 
i mdc (p, q) = 1), następnie 0 jest podzielna przez P i Nie jest podzielna przez co.
Komentarze:
1º) Twierdzenie o racjonalnych pierwiastkach nie gwarantuje, że równanie wielomianowe ma pierwiastki, ale jeśli istnieją, to twierdzenie pozwala nam zidentyfikować wszystkie korzenie równania;
2º) gdyby Nie= 1 a pozostałe współczynniki są liczbami całkowitymi, równanie ma tylko pierwiastki całkowite.
3°) gdyby q = 1 i istnieją racjonalne korzenie, to są całe i dzielniki 0.
Zastosowanie twierdzenia o racjonalnych korzeniach:
Użyjmy twierdzenia, aby znaleźć wszystkie pierwiastki równania wielomianowego 2x4 + 5x3 – 11x2 – 20x + 12 = 0.
Najpierw zidentyfikujmy możliwe pierwiastki wymierne tego równania, czyli pierwiastki postaci P/
co. Zgodnie z twierdzeniem, 0 jest podzielna przez P; w ten sposób, jak 0 = 12, to możliwe wartości P są {±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12}. Analogicznie musimy Nie jest podzielna przez co i Nie = 2, następnie co może mieć następujące wartości: {±1, ±2}. Dlatego dzieląc wartości P za co, otrzymujemy możliwe wartości P/co pierwiastki równania: {+½, – ½, +1, – 1, +3/2, –3/2, +2, –2, +3, –3, +4, –4, +6, –6, +12, –12}.Aby potwierdzić, że znalezione przez nas wartości są rzeczywiście pierwiastkami równania wielomianowego, podstawmy każdą wartość w miejsce x równania. Przez rachunek algebraiczny, jeśli wynikiem wielomianu jest zero, więc podstawiona liczba jest w rzeczywistości pierwiastkiem równania.
2x4 + 5x3 – 11x2 – 20x + 12 = 0
Dla x = + ½
2.(½)4 + 5.(½)3 – 11.(½)2 – 20.(½) + 12 = 0
Dla x = – ½
2.(– ½)4 + 5.(– ½)3 – 11.(– ½)2 – 20.(– ½) + 12 = 75/4
Teraz nie przestawaj... Po reklamie jest więcej ;)
Dla x = + 1
2.14 + 5.13 – 11.12 – 20.1 + 12 = – 12
Dla x = – 1
2.(– 1)4 + 5.(– 1)3 – 11.(– 1)2 – 20.(– 1) + 12 = 18
Dla x = + 3/2
2.(3/2)4 + 5.(3/2)3 – 11.(3/2)2 – 20.(3/2) + 12 = – 63/4
Dla x = - 3/2
2.(– 3/2)4 + 5.(– 3/2)3 – 11.(– 3/2)2 – 20.(– 3/2) + 12 = 21/2
Dla x = + 2
2.24 + 5.23 – 11.22 – 20.2 + 12 = 0
Dla x = – 2
2.(– 2)4 + 5.(– 2)3 – 11.(– 2)2 – 20.(– 2) + 12 = 0
Dla x = + 3
2.34 + 5.33 – 11.32 – 20.3 + 12 = 150
Dla x = – 3
2.(– 3)4 + 5.(– 3)3 – 11.(– 3)2 – 20.(– 3) + 12 = 0
Dla x = + 4
2.44 + 5.43 – 11.42 – 20.4 + 12 = 588
Dla x = – 4
2.(– 4)4 + 5.(– 4)3 – 11.(– 4)2 – 20.(– 4) + 12 = 108
Dla x = + 6
2.64 + 5.63 – 11.62 – 20.6 + 12 = 3168
Dla x = – 6
2.(– 6)4 + 5.(– 6)3 – 11.(– 6)2 – 20.(– 6) + 12 = 1248
Dla x = + 12
2.124 + 5.123 – 11.122 – 20.12 + 12 = 48300
Dla x = – 12
2.(– 12)4 + 5.(– 12)3 – 11.(– 12)2 – 20.(– 12) + 12 = 31500
Dlatego pierwiastki równania wielomianowego 2x4 + 5x3 – 11x2 – 20x + 12 = 0 oni są {– 3, – 2, ½, 2}. Przez twierdzenie o rozkładzie wielomianowym, możemy zapisać to równanie jako (x + 3).(x + 2).(x – ½).(x – 2)= 0.
przez Amandę Gonçalves
Ukończył matematykę
Czy chciałbyś odnieść się do tego tekstu w pracy szkolnej lub naukowej? Popatrz:
RIBEIRO, Amanda Gonçalves. „Twierdzenie o racjonalnych korzeniach”; Brazylia Szkoła. Dostępne w: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-das-raizes-racionais.htm. Dostęp 28 czerwca 2021 r.
