Wielokrotności i dzielniki: czym są i właściwości

Koncepcje wielokrotności i dzielniki liczby naturalnej rozciągają się na zbiór wszystkie liczby. Kiedy zajmujemy się tematem wielokrotności i dzielników, odwołujemy się do zbiory liczbowe które spełniają pewne warunki. Wielokrotności znajdują się po pomnożeniu przez liczby całkowite, a dzielniki to liczby podzielne przez określoną liczbę.

Z tego powodu znajdziemy podzbiory liczb całkowitych, ponieważ elementy zbiorów wielokrotności i dzielników są elementami zbioru liczb całkowitych. Aby zrozumieć, czym są liczby pierwsze, konieczne jest zrozumienie pojęcia dzielników.

Pojęcia wielokrotności i dzielników wywodzą się z operacji.
Pojęcia wielokrotności i dzielników wywodzą się z operacji.

wielokrotności liczby

być i b dwie znane liczby całkowite, liczba jest wielokrotnością b wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje liczba całkowita k takie, że = b · k. Więc zestaw wielokrotności w uzyskuje się przez pomnożeniedla wszystkich liczb całkowitych, wyniki tych mnożenia są wielokrotnościami .

Na przykład wypiszmy pierwsze 12 wielokrotności 2. W tym celu musimy pomnożyć liczbę 2 przez pierwsze 12 liczb całkowitych, tak:

2 · 1 = 2

2 · 2 = 4

2 · 3 = 6

2 · 4 = 8

2 · 5 = 10

2 · 6 = 12

2 · 7 = 14

2 · 8 = 16

2 · 9 = 18

2 · 10 = 20

2 · 11 = 22

2 · 12 = 24

Dlatego wielokrotności 2 to:

M(2) = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24}

Zauważ, że wymieniliśmy tylko pierwszych 12 liczb, ale mogliśmy podać tyle, ile potrzeba, ponieważ listę wielokrotności podaje się, mnożąc liczbę przez wszystkie liczby całkowite. A zatem, zbiór wielokrotności jest nieskończony.

Aby sprawdzić, czy liczba jest wielokrotnością innej, musimy znaleźć liczbę całkowitą, aby po mnożeniu między nimi powstała pierwsza liczba. Zobacz przykłady:

→ Liczba 49 jest wielokrotnością 7, ponieważ istnieje liczba całkowita, która pomnożona przez 7 daje 49.

49 = 7 · 7

→ Liczba 324 jest wielokrotnością 3, ponieważ istnieje liczba całkowita, która pomnożona przez 3 daje 324.

324 = 3 · 108

→ Numer 523 Nie jest wielokrotnością 2, ponieważ nie ma liczby całkowitej co pomnożone przez 2 daje 523.

523 = 2 · ?

Przeczytaj też: Własności mnożenia ułatwiające obliczenia umysłowe

Wielokrotność 4

Jak widzieliśmy, aby wyznaczyć wielokrotności liczby 4, musimy pomnożyć liczbę 4 przez liczby całkowite. A zatem:

4 · 1 = 4

4 · 2 = 8

4 · 3 = 12

4 · 4 = 16

4 · 5 = 20

4 · 6 = 24

4 · 7 = 28

4 · 8 = 32

4 · 9 = 36

4 · 10 = 40

4 · 11 = 44

4 · 12 = 48

...

Dlatego wielokrotności 4 to:

M(4) = {4, 8, 12, 16, 20. 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, … }

Wielokrotności 5

Analogicznie mamy wielokrotności 5.

5 · 1 = 5

5 · 2 = 5

5 · 3 = 15

5 · 4 = 20

5 · 5 = 25

5 · 6 = 30

5 · 7 = 35

...

Stąd wielokrotności 5 to: M(5) = {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, … }

Teraz nie przestawaj... Po reklamie jest więcej ;)

dzielniki jednoliczbowe

być i b dwie znane liczby całkowite, powiedzmy b jest dzielnikiem jeśli liczba b jest wielokrotnością , to jest podział pomiędzy b i jest dokładny (musi opuścić reszta 0).

Zobacz kilka przykładów:

→ 22 jest wielokrotnością 2, więc 2 jest dzielnikiem 22.

→ 63 jest wielokrotnością 3, więc 3 jest dzielnikiem 63.

→ 121 nie jest wielokrotnością 10, więc 10 nie jest dzielnikiem 121.

Aby wymienić dzielniki liczby, musimy poszukać liczb, które ją dzielą. Popatrz:

– Wymień dzielniki 2, 3 i 20.

D(2) = {1, 2}

D(3) = {1,3}

D(20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Zauważ, że liczby na liście dzielników są zawsze podzielne przez daną liczbę i że and najwyższą wartością, która pojawia się na tej liście, jest sama liczba., ponieważ żadna liczba większa niż nie będzie przez nią podzielna.

Na przykład w dzielnikach 30 największą wartością na tej liście jest samo 30, ponieważ żadna liczba większa niż 30 nie będzie przez nią podzielna. A zatem:

D(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}

Wiedzieć więcej: Ciekawostki dotyczące dzielenia liczb naturalnych

Własność wielokrotności i dzielników

Te właściwości są związane z podział między dwiema liczbami całkowitymi. Zauważ, że gdy liczba całkowita jest wielokrotnością innej, jest również podzielna przez tę inną liczbę.

Weź pod uwagę algorytm dzielenia abyśmy mogli lepiej zrozumieć właściwości.

N = d · q + r, gdzie qir są liczbami całkowitymi.

Zapamietaj to N jest nazywany dywidendy;d, dla dzielnika;q, dla ilorazu; i r, tak przy okazji.

Właściwość 1: Różnica między dzielną a resztą (N – r) jest wielokrotnością dzielnika lub liczba d jest dzielnikiem (N – r).

Właściwość 2: (N – r + d) jest wielokrotnością d, czyli liczba d jest dzielnikiem (N – r + d).

Zobacz przykład:

– Wykonując dzielenie 525 przez 8 otrzymujemy iloraz q = 65 a resztę r = 5. Mamy więc dzielną N = 525 i dzielnik d = 8. Zobacz, że własności są spełnione, ponieważ (525 – 5 + 8) = 528 jest podzielne przez 8 i:

528 = 8 · 66

liczby pierwsze

ty liczby pierwsze to są te, które mają jako dzielnik w swoim wykazie tylko liczbę 1 i samą liczbę. Aby sprawdzić, czy liczba jest liczbą pierwszą, czy nie, jedną z najprostszych metod jest wymienienie dzielników tej liczby. Jeśli pojawiają się liczby większe niż 1 i dana liczba, nie jest to liczba pierwsza.

→ Sprawdź, które są liczbami pierwszymi od 2 do 20. W tym celu wypiszmy dzielniki wszystkich tych liczb od 2 do 20.

D(2) = {1, 2}

D(3) = {1,3}

D(4) = {1, 2, 4}

D(5) = {1, 5}

D(6) = {1, 2, 3, 6}

D(7) = {1, 7}

D(8) = {1, 2, 4, 8}

D(9) = {1, 3, 9}

D(10) = {1, 2, 5, 10}

D(11) = {1, 11}

D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

D(13) = {1, 13}

D(14) = {1, 2, 7, 14}

D(15) = {1, 3, 5, 15}

D(16) = {1, 2, 4, 16}

D(17) = {1, 17}

D(18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}

D(19) = {1, 19}

D(20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Liczby pierwsze od 2 do 20 to:

{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 i 19}

Zauważ, że zbiór pochodzi z niektórych pierwszych liczb pierwszych, ta lista jest długa. Zauważ, że im większa liczba, tym trudniej stwierdzić, czy jest liczbą pierwszą, czy nie.

Czytaj więcej: Liczby niewymierne: te, których nie można przedstawić w ułamkach

Ćwiczenia rozwiązane

Pytanie 1 – (UMC-SP) Liczba elementów w zbiorze pierwszych dzielników 60 wynosi:

a) 3

b) 4

c) 5

d) 10

Rozwiązanie

Alternatywa A

Najpierw wymienimy dzielniki 60, a następnie przyjrzymy się, które z nich są pierwsze.

D(60) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}

Z tych liczb mamy liczby pierwsze:

{2, 3, 5}

Dlatego liczba pierwszych dzielników 60 wynosi 3.

pytanie 2 – Napisz wszystkie liczby naturalne mniejsze niż 100 i wielokrotności 15.

Rozwiązanie

Wiemy, że wielokrotności 15 są wynikiem pomnożenia liczby 15 przez wszystkie liczby całkowite. Ponieważ ćwiczenie prosi o zapisanie liczb naturalnych mniejszych niż 100 i będących wielokrotnościami 15, musimy: pomnóż 15 przez wszystkie liczby większe od zera, aż znajdziemy największą wielokrotność przed 100, a zatem:

15 · 1 = 15

15 · 2 = 30

15 · 3 = 45

15 · 4 = 60

15 · 5 = 75

15 · 6 = 90

15 · 7 = 105

Dlatego liczby naturalne mniejsze niż 100 i wielokrotności 15 to:

{15, 30, 45, 60, 75, 90}

pytanie 3 – Jaka jest największa wielokrotność 5 między 100 a 1001?

Rozwiązanie

Aby określić największą wielokrotność 5 między 100 a 1001, po prostu zidentyfikuj pierwszą wielokrotność 5 od tyłu do przodu.

1001 nie jest wielokrotnością 5, ponieważ nie ma liczby całkowitej, która pomnożona przez 5 daje wynik 1001.

1000 jest wielokrotnością 5, ponieważ 1000 = 5 · 200.

Dlatego największa wielokrotność 5, między 100 a 1001, wynosi 1000.

Robson Luiz
Nauczyciel matematyki

Frakcja tworząca: krok po kroku i metoda praktyczna

Frakcja tworząca: krok po kroku i metoda praktyczna

TEN generowanie frakcji i reprezentacja ułamkowa okresowej dziesięciny. Ta reprezentacja jest waż...

read more
Generator okresowej dziesięciny. Znajdowanie ułamka generującego

Generator okresowej dziesięciny. Znajdowanie ułamka generującego

Badając zbiór liczb wymiernych, znajdujemy pewne ułamki, które po przeliczeniu na liczby dziesięt...

read more

Obliczanie MMC i MDC

Obliczenia MMC i MDC wiążą się z wielokrotności i dzielniki liczby naturalnej. Przez wielokrotnoś...

read more