Mając okrąg o środku O, promieniu r oraz dwóch należących do niego punktach A i B, mamy, że odległość pomiędzy zaznaczonymi punktami jest łukiem koła. Długość łuku jest proporcjonalna do miary kąta centralnego, im większy kąt, tym większa długość łuku; a im mniejszy kąt, tym krótsza długość łuku.
Do wyznaczenia długości koła posługujemy się wyrażeniem matematycznym: C = 2*π*r. Całkowity obrót w kole jest reprezentowany przez 360º. Dokonajmy porównania długości obwodu w mierze liniowej (ℓ) i miary kątowej (α), uwaga:
liniowy |
kątowy |
2*π*r |
360º |
ℓ |
α |
Tego wyrażenia można użyć do określenia długości łuku okręgu o promieniu r i kącie środka α w stopniach. W takich przypadkach użyj π = 3,14.
Jeśli kąt środkowy podany jest w radianach, używamy następującego wyrażenia: ℓ = α * r.
Przykład 1
Wyznacz długość łuku o kącie środkowym równym 30° zawartego w obwodzie o promieniu 2 cm.
ℓ = α * π * r / 180º
ℓ = 30º * 3,14 * 2 / 180º
ℓ = 188,40 / 180
ℓ = 1,05 cm
Długość łuku wyniesie 1,05 centymetra.
Przykład 2
Wskazówka minutowa zegara ściennego mierzy 10 cm. Ile miejsca zajmie dłoń po 30 minutach?
Zobacz zdjęcie zegara:
ℓ = α * π * r / 180º
ℓ = 180º * 3,14 * 10 / 180º
ℓ = 5652 / 180
= 31,4 cm
Przestrzeń, którą zajmie wskazówka minutowa, będzie miała 31,4 centymetra.
Przykład 3
Wyznacz długość łuku o kącie środkowym π/3 zawartym w obwodzie o promieniu 5 cm.
ℓ = α * r
ℓ = π/3 * 5
ℓ = 5π/3
ℓ = 5*3,14 / 3
ℓ = 15,7 / 3
ℓ = 5,23 cm
Przykład 4
Wahadło o długości 15 cm kołysze się między punktami A i B pod kątem 15°. Jaka jest długość trajektorii opisanej przez jej koniec między A i B?
ℓ = α * π * r / 180º
ℓ = 15º * 3,14 * 15 / 180º
ℓ = 706,5 / 180
= 3,9 cm
Długość trajektorii między A i B wynosi 3,9 centymetra.
przez Marka Noah
Ukończył matematykę
Brazylijska drużyna szkolna
Trygonometria - Matematyka - Brazylia Szkoła
Źródło: Brazylia Szkoła - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/comprimento-um-arco.htm
