TEN transponowana macierz macierzy M to macierz Mt. chodzi o Kwatera główna że dostaniemy kiedy przepisujemy macierz M zmieniając położenie wierszy i kolumn, przekształcając pierwszy wiersz M w pierwszą kolumnę Mt, drugi rząd M w drugiej kolumnie Mt, i tak dalej.
Jeśli macierz M ma m linie i Nie kolumny, jej transponowana macierz, czyli Mt, będzie miał Nie linie i m kolumny. Transponowana macierz ma specyficzne właściwości.
Przeczytaj też: Czym jest macierz trójkątna?
Jak uzyskuje się transponowaną macierz?
Biorąc pod uwagę macierz Amxn, znamy jako macierz transponowaną z A do macierzy Atn x m. Aby znaleźć transponowaną macierz, po prostu zmień pozycję wierszy i kolumn macierzy A. Jakikolwiek jest pierwszy wiersz macierzy A, będzie pierwszą kolumną transponowanej macierzy At, drugi wiersz macierzy A będzie drugą kolumną macierzy At, i tak dalej.
Algebraicznie, niech M = (mij)mxn , transponowana macierz M to Mt = (mJi) n x m.
Przykład:
Znajdź macierz transponowaną z macierzy:
Macierz M jest macierzą 3x5, więc jej transpozycja będzie miała wartość 5x3.
Aby znaleźć transponowaną macierz, uczynimy pierwszy wiersz macierzy M pierwszą kolumną macierzy Mt.
Drugi wiersz macierzy M będzie drugą kolumną transponowanej macierzy:
Wreszcie trzeci wiersz macierzy M stanie się trzecią kolumną macierzy M.t:
macierz symetryczna
W oparciu o koncepcję macierzy transponowanej można określić, czym jest macierz symetryczna. Matryca nazywana jest symetryczną kiedy jest równy twojej transponowanej macierzy, czyli mając macierz M, M = Mt.
Aby tak się stało, macierz musi być kwadratowa, co oznacza, że aby macierz była symetryczna, liczba wierszy musi być równa liczbie kolumn.
Teraz nie przestawaj... Po reklamie jest więcej ;)
Przykład:
Kiedy analizujemy terminy powyżej głównej przekątnej i terminy poniżej głównej przekątnej macierzy S, można zauważyć, że istnieją terminy, które oni są tacy sami, co sprawia, że jest znana jako symetryczna właśnie ze względu na symetrię macierzy w stosunku do głównej przekątnej.
Jeśli znajdziemy transpozycję macierzy S, można zobaczyć, że St jest równy S.
Ponieważ S = St, ta macierz jest symetryczna.
Zobacz też: Jak rozwiązywać układy liniowe?
Transponowane właściwości macierzy
1. nieruchomość: transpozycja transponowanej macierzy jest równa samej macierzy:
(Mt)t = M
2. nieruchomość: transpozycja sumy między macierzami jest równa sumie transpozycji każdej z macierzy:
(M + N)t = Mt + Nt
trzecia właściwość: transpozycja mnożenie między dwiema macierzami jest równe pomnożeniu transpozycji każdej z macierzy:
(M · N)t = Mt · Nt
4 nieruchomość: O wyznacznik macierzy jest równa wyznacznikowi transponowanej macierzy:
det (M) = det (Mt)
5. nieruchomość: transpozycja macierzy razy stała jest równa transpozycji macierzy razy stała:
(kA)t = kAt
Odwrotna macierz
Koncepcja macierzy odwrotnej różni się znacznie od koncepcji macierzy transponowanej i ważne jest, aby podkreślić różnicę między nimi. Macierz odwrotna macierzy M to macierz M-1, gdzie iloczyn między macierzami M i M-1 jest równa macierzy tożsamości.
Przykład:
Aby dowiedzieć się więcej o tego typu matrycy, przeczytaj nasz tekst: Odwrotna macierz.
przeciwna macierz
Będąc kolejnym przypadkiem specjalnej matrycy, macierzą przeciwną do macierzy M jest macierz -M. Znamy jako przeciwną macierz M = (mij) macierz -M = (-mij). Macierz przeciwna składa się z przeciwnych wyrazów macierzy M.
rozwiązane ćwiczenia
Pytanie 1 - (Cesgranrio) Rozważmy macierze:
Oznaczamy przez At transponowana macierz A. Macierz (AtA) - (B+Bt) é:
Rozkład
Alternatywa C
Najpierw znajdziemy macierz At i macierz Bt:
Musimy więc:
Teraz obliczamy B + Bt:
Na koniec obliczymy różnicę między A· At i B + Bt:
Pytanie 2 - (Cotec – adaptacja) Dane macierze A i B mnożąc A · Btotrzymujemy:
Rozkład
Alternatywa C
Najpierw znajdziemy transponowaną macierz B:
Iloczyn pomiędzy macierzami A i Bt to to samo co:
Raul Rodrigues de Oliveira
Nauczyciel matematyki
Czy chciałbyś odnieść się do tego tekstu w pracy szkolnej lub naukowej? Popatrz:
OLIVEIRA, Raul Rodrigues de. „Macierz transponowana”; Brazylia Szkoła. Dostępne w: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-transposta.htm. Dostęp 28 czerwca 2021 r.
Macierz, Wyznacznik, Rozdzielczość systemu, Reguła Cramera, Zastosowanie reguły Cramera, Jak zastosować regułę Cramera, Niewiadome systemu.
