Algebra jest to dział matematyki, który uogólnia arytmetykę. Oznacza to, że pojęcia i operacje z arytmetyki (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie) itp.) zostaną przetestowane, a ich skuteczność zostanie udowodniona dla wszystkich liczb należących do określonych zbiorów numeryczne.
Czy na przykład operacja „dodawania” rzeczywiście działa na wszystkich liczbach należących do zbioru liczb naturalnych? A może jest jakaś bardzo duża liczba naturalna, bliska nieskończoności, która po zsumowaniu zachowuje się inaczej niż inne? Odpowiedź na to pytanie udziela algebra: Najpierw definiowany jest zbiór liczb naturalnych, a operacja dodaje; wtedy udowodniono, że operacja dodawania działa dla dowolnej liczby naturalnej.
NAS studia algebry, litery są używane do reprezentowania liczb. Litery te mogą reprezentować nieznane liczby lub dowolną liczbę należącą do zestawu liczb. Jeśli x jest na przykład liczbą parzystą, to x może wynosić 2, 4, 6, 8, 10,... W ten sposób x jest dowolną liczbą należącą do zbioru liczb parzystych i jest jasne, jakiego rodzaju jest to liczba x: wielokrotność 2.
Własności działań matematycznych
Wiedząc, że dowolna liczba należąca do zbioru może być reprezentowana przez literę, rozważ liczby x, y i z jako należące do zbioru liczb. real i operacje dodanie i mnożenie reprezentowane odpowiednio przez „+” i „·”. Tak więc następujące właściwości są prawidłowe dla x, y i z:
1 - Łączność
(x + y) + z = x + (y + z)
(x·y)·z = x·(y·z)
2 – Przemienność
x + y = y + x
x·y = y·x
3 – Istnienie neutralnego elementu (1 dla mnożenia i 0 dla dodawania)
x + 0 = x
x·1 = x
4 – Istnienieprzeciwnego (lub symetrycznego) elementu.
x + (–x) = 0
x· 1 = 1
x
5 – Dystrybucja (nazywana również rozdzielczą własnością mnożenia nad dodawaniem)
x·(y + z) = x·y + x·z
Te pięć nieruchomości są ważne dla wszystkich liczb rzeczywistych x, y i z, ponieważ litery te były używane do reprezentowania dowolnej liczby rzeczywistej. Dotyczy to również operacji dodawania i mnożenia.
wyrażenia algebraiczne
W matematyce, wyrażenie to sekwencja operacji matematycznych wykonywanych na niektórych liczbach. Na przykład: 2 + 3 – 7 to wyrażenie liczbowe. Gdy to wyrażenie obejmuje nieznane liczby (niewiadome), nazywa się wyrażenie algebraiczne. Wyrażenie algebraiczne, które ma tylko jeden wyraz, nazywa się monomium. Każdy wyrażenie algebraiczne czyli wynik dodawania lub odejmowania między dwoma jednomianami nazywa się wielomianem.
wyrażenia algebraiczne, jednomiany i wielomiany są przykładami elementów należących do algebry, ponieważ są tworzone z operacji wykonywanych na nieznanych liczbach. Pamiętaj, że nieznana liczba może reprezentować dowolną liczbę w zestawie liczbowym.
Równania
Równania oni są wyrażenia algebraiczne którzy mają równość. A zatem, równanie jest to treść Matematyki, która łączy liczby z niewiadomymi poprzez równość.
Obecność nieznanego jest tym, co klasyfikuje równanie jako wyrażenie algebraiczne. Obecność równości pozwala na znalezienie rozwiązania równania, czyli wartości liczbowej niewiadomej.
Przykłady
1) 2x + 4 = 0
2) 4x - 4 = 19 - 8x
3) 2x2 + 8x – 9 = 0
Role
Formalna definicja funkcji jest następująca: zawód jest to reguła, która wiąże każdy element zestawu z pojedynczym elementem drugiego zestawu.
Ta reguła jest matematycznie reprezentowana przez wyrażenie algebraiczne, które ma równość, ale wiąże nieznane z nieznanym. Na tym polega różnica między funkcją a równaniem: równanie wiąże niewiadomą ze stałą liczbą; w zawód, niewiadoma reprezentuje cały zestaw liczb. Z tego powodu w funkcjach niewiadome nazywane są zmiennymi, ponieważ mogą przyjmować dowolną wartość w zbiorze, który reprezentują.
Ponieważ obejmuje wyrażenia algebraiczne, zawód jest to również treść należąca do Algebry, ponieważ litery reprezentują dowolną liczbę należącą do dowolnego zestawu liczb.
Przykłady:
1) Rozważ funkcję y = x2, gdzie x jest dowolnym prawdziwy numer.
W tym zawód, zmienna x może przyjmować dowolną wartość w zbiorze liczb rzeczywistych. Ponieważ reguła łącząca liczby reprezentowane przez x z liczbami reprezentowanymi przez y jest podstawową operacją matematyczną, więc y reprezentuje również liczby rzeczywiste. Jedynym szczegółem na ten temat jest to, że y nie może reprezentować ujemnej liczby rzeczywistej w tej funkcji, ponieważ y jest wynikiem potęgi potęgi 2, która zawsze będzie miała wynik dodatni.
2) Rozważ funkcję y = 2x, gdzie x to a Liczba naturalna.
W tym zawód, zmienna x może przyjmować dowolną wartość ze zbioru liczb naturalnych. Liczby te są liczbami całkowitymi dodatnimi, więc wartości, które może przyjąć, są liczbami naturalnymi wielokrotnościami 2. W ten sposób y jest reprezentantem zbioru liczb parzystych.
Od algebry klasycznej do algebry abstrakcyjnej
Wymienione dotychczas koncepcje składają się na algebra klasyczna. Ta część algebry jest bardziej powiązana ze zbiorami liczb naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, rzeczywistych i zespolonych i jest badana zarówno w szkolnictwie podstawowym, jak i wyższym. Druga część algebry, znana jako abstrakcyjna, bada te same struktury, ale dla dowolnych zbiorów.
W ten sposób, mając dowolny zestaw, z dowolnymi elementami (liczbami lub nie), można zdefiniować operację „dodawanie”, operację „mnożenie” i weryfikuje istnienie lub nie właściwości tych operacji, a także ważność „równań”, „funkcji”, „wielomianów” itp.
Luiz Paulo Moreira
Ukończył matematykę
Źródło: Brazylia Szkoła - https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-algebra.htm