TEN postęp arytmetyczny (AP) jest ciąg liczb którego używamy do opisu zachowania pewnych zjawisk w matematyce. W PA wzrost lub rozkład jest zawsze stały, to znaczy, od jednego terminu do drugiego, różnica będzie zawsze taka sama i ta różnica jest znana jako przyczyna.
W wyniku przewidywalne zachowanie progresji, możesz to opisać wzorem znanym jako termin ogólny. Z tego samego powodu możliwe jest również obliczenie sumy warunków PA przy użyciu określonego wzoru.
Przeczytaj też: Postęp geometryczny - jak obliczyć?
Co to jest PA?
Zrozumienie, że PA to ciąg terminów, w których różnica między terminem a poprzednim terminem jest zawsze stała, aby opisać ten przebieg ze wzoru, musimy znaleźć wyraz początkowy, lub to jest pierwszy termin progresji i jego przyczyna, którą jest ta stała różnica między warunki.
Ogólnie rzecz biorąc, PA jest napisane w następujący sposób:
(The1, a2,The3, a4,The5, a6,The7, a8)
Pierwszy termin to a1 i od tego do Dodaj powód r, znajdźmy warunki następcze.
1 + r = a2
2 + r = a3
3 + r = a4
...
Tak więc, aby napisać ciąg arytmetyczny, musimy wiedzieć, kto jest jego pierwszym terminem i dlaczego.
Przykład:
Napiszmy pierwszych sześć wyrazów AP, wiedząc, że jego pierwszy wyraz to 4, a jego stosunek równy 2. znając1 =4 i r = 2, dochodzimy do wniosku, że ta progresja zaczyna się od 4 i wzrasta od 2 do 2. Dlatego możemy opisać jego terminy.
1 = 4
2 = 4+ 2 = 6
3 = 6 + 2 = 8
4 = 8 + 2 = 10
5= 10 + 2 = 12
6 = 12 + 2 =14
Ten BP jest równy (4,6,8,10,12,14…).
Teraz nie przestawaj... Po reklamie jest więcej ;)
Ogólny termin PA
Opisanie PA z formuły ułatwia nam znalezienie dowolnego z jego terminów. Aby znaleźć dowolny termin AP, używamy następującego wzoru:
Nie=a1 + r·(n-1) |
N→ to pozycja terminu;
1→ to pierwszy termin;
r → powód.
Przykład:
Znajdź to ogólna kadencja PA (1,5,9,13,…) oraz V, X i 23 kadencję.
I krok: znajdź powód.
Aby znaleźć stosunek, po prostu oblicz różnicę między dwoma następującymi po sobie terminami: 5 – 1 = 4; wtedy w tym przypadku r = 4 .
Drugi krok: znajdź ogólny termin.
Skąd wiemy, że1= 1 i r = 4, podstawmy we wzorze.
Nie=a1 + r (n - 1)
Nie=1 + 4 (n - 1)
Nie=1 + 4n - 4
Nie= 4n – 3 → termin ogólny PA
Trzeci krok: znając termin ogólny, obliczmy termin 5, 10 i 23.
5-ta kadencja → n = 5
Nie=4n - 3
5=4·5 – 3
5=20 – 3
5=17
10-ta kadencja → n = 10
Nie=4n - 3
10=4·10 – 3
10=40 – 3
10=37
23. termin → n = 23
Nie=4n - 3
23=4·23 – 3
23=92 – 3
23=89
Rodzaje postępów arytmetycznych
Istnieją trzy możliwości PA. Może być rosnący, malejący lub stały.
Rozwój
Jak sama nazwa wskazuje, postęp arytmetyczny rośnie, gdy: wraz ze wzrostem terminów wzrasta również ich wartość., to znaczy, że drugi wyraz jest większy od pierwszego, trzeci jest większy od drugiego i tak dalej.
1 < do2 < do3 < do4 < …. Nie
Aby tak się stało, stosunek musi być dodatni, to znaczy PA rośnie, jeśli r > 0.
Przykłady:
(2,3,4,5,6,7,8,9 …)
(0,5,10,15,20,25...)
malejąco
Jak sama nazwa wskazuje, postęp arytmetyczny maleje, gdy: wraz ze wzrostem terminów ich wartość maleje, to znaczy, że drugi termin jest krótszy od pierwszego, trzeci jest krótszy od drugiego i tak dalej.
1 >2 >3 >4 > …. >tenNie
Aby tak się stało, stosunek musi być ujemny, to znaczy PA rośnie, jeśli r < 0.
Przykłady:
(10,9,8,7,6,5,4,3,2, …)
(0, -5, -10, -15, -20, …)
Stały
Postęp arytmetyczny jest stały, gdy: wraz ze wzrostem terminów wartość pozostaje taka sama., to znaczy, że pierwszy wyraz jest równy drugiemu, które jest równe trzeciemu i tak dalej.
1 =2 =3 =4 = …. =aNie
Aby PA był stały, stosunek musi być równy zero, czyli r = 0.
Przykłady:
(1,1,1,1,1,1,1….)
(-2, -2 -2, -2, …)
Zobacz też: Iloczyn warunków PG - jaka jest formuła?
Właściwości PA
1. nieruchomość
Biorąc pod uwagę dowolny termin PA, średni arytmetyka między jego następcą a poprzednikiem jest równy temu terminowi.
Przykład:
Rozważ progresję (-1, 2, 5, 8, 11) i termin 8. Średnia między 11 a 5 jest równa 8, to znaczy suma następcy z poprzednikiem liczby w PA jest zawsze równa tej liczbie.
2. nieruchomość
Suma wyrazów równoodległych jest zawsze równa.
Przykład:
Suma warunków PA
Załóżmy, że chcemy dodać sześć terminów BP pokazanych powyżej: (16,13,10,7,4,1). Możemy po prostu dodać ich terminy – w takim przypadku jest kilka terminów, jest to możliwe – ale jeśli tak jest dłuższy ciąg, powinieneś użyć właściwości. Wiemy, że suma wyrazów równoodległych jest zawsze równa, jak widzieliśmy we własności, więc jeśli to zrobimy dodaj raz i pomnóż przez połowę ilości wyrazów, mamy sumę pierwszych sześciu wyrazów PATELNIA.
Zauważ, że w tym przykładzie obliczylibyśmy sumę pierwszego i ostatniego, która jest równa 17, pomnożona przez połowę liczby wyrazów, czyli 17 razy 3, co jest równe 51.
Formuła suma warunków PA został opracowany przez matematyka Gaussa, który zdał sobie sprawę z tej symetrii w progresjach arytmetycznych. Wzór jest napisany w następujący sposób:
sNie → suma n elementów
1 → pierwszy semestr
Nie → ostatni semestr
n → liczba terminów
Przykład:
Oblicz sumę liczb nieparzystych od 1 do 2000.
Rozkład:
Wiemy, że ta sekwencja to PA (1,3,5, …. 1997, 1999). Wykonanie sumy wymagałoby dużo pracy, więc formuła jest całkiem wygodna. Od 1 do 2000, połowa liczb jest nieparzysta, więc jest 1000 liczb nieparzystych.
Dane:
n → 1000
1 → 1
Nie → 1999
Również dostęp: Suma skończonego PG – jak to zrobić?
Interpolacja średnich arytmetycznych
Znając dwa niekolejne wyrazy postępu arytmetycznego, można znaleźć wszystkie wyrazy, które mieszczą się między tymi dwoma liczbami, co znamy jako interpolacja średnich arytmetycznych.
Przykład:
Interpolujmy 5 średnich arytmetycznych między 13 a 55. Oznacza to, że jest 5 liczb między 13 a 55 i tworzą one progresję.
(13, ___, ___, ___, ___, ___, 55).
Aby znaleźć te liczby, konieczne jest znalezienie przyczyny. Znamy pierwszy termin (1 = 13), a także VII kadencji ( (7= 55), ale wiemy, że:
Nie =1 + r ·(n – 1 )
Gdy n = 7 → aNie= 55. Znamy również wartość a1=13. Zatem podstawiając go we wzorze, musimy:
55 = 13 + r ·( 7 – 1 )
55 = 13 + 6r
55 - 13 = 6r
42 = 6r
r = 42:6
r = 7.
Znając przyczynę, możemy znaleźć terminy z przedziału od 13 do 55.
13 + 7 = 20
21 + 7 = 27
28 + 7 = 34
35 + 7 = 41
41 + 7 = 49
(13, 20, 27, 34, 41, 49, 55)
rozwiązane ćwiczenia
Pytanie 1 - (Enem 2012) - Karty do gry to czynność, która stymuluje rozumowanie. Tradycyjną grą jest Solitaire, w której wykorzystuje się 52 karty. Początkowo z kartami tworzy się siedem kolumn. Pierwsza kolumna ma jedną kartę, druga ma dwie karty, trzecia ma trzy karty, czwarta ma cztery karty i tak dalej kolejno do siódmej kolumny, która ma siedem kart i co tworzy stos, czyli niewykorzystane karty w kolumny.
Liczba kart tworzących stos to:
A) 21.
B) 24.
C) 26.
D) 28.
E) 31.
Rozkład
Alternatywa B.
Najpierw obliczmy całkowitą liczbę kart, które zostały użyte. Współpracujemy z AP, którego pierwszy termin wynosi 1, a stosunek również wynosi 1. Tak więc, obliczając sumę 7 wierszy, ostatni wyraz to 7, a wartość n również wynosi 7.
Wiedząc, że łączna liczba użytych kart wynosiła 28 i że są 52 karty, stos tworzą:
52 - 28 = 24 karty
Pytanie 2 - (Enem 2018) Ratusz małego miasteczka we wnętrzu postanawia postawić słupy do oświetlenia wokół wzdłuż prostej drogi, która zaczyna się na centralnym placu i kończy na farmie w okolicy. wiejski. Ponieważ plac jest już oświetlony, pierwszy słup zostanie ustawiony 80 metrów od placu, drugi 100 metrów, trzeci 120 metrów i tak dalej. sukcesywnie, zawsze zachowując odległość 20 metrów między słupkami, aż ostatni słupek znajdzie się w odległości 1380 metrów od kwadrat.
Jeśli miasto może zapłacić maksymalnie 8 000 R$ za umieszczony post, najwyższa kwota, jaką możesz wydać na umieszczenie tych postów, to:
A) 512 000,00 BRL.
B) 520 000,00 BRL.
C) 528.000,00 R$.
D) 552.000,00 BRL.
E) 584 000,00 BRL.
Rozkład
Alternatywa C.
Wiemy, że słupki będą umieszczane co 20 metrów, czyli r = 20, a pierwszy termin tego PA to 80. Wiemy też, że ostatni termin to 1380, ale nie wiemy, ile jest między 80 a 1380. Aby obliczyć tę liczbę terminów, użyjmy ogólnej formuły terminów.
Dane: aNie = 1380;1=80; i r = 20.
Nie=a1 + r·(n-1)
Zostanie umieszczonych 660 postów. Jeśli każdy z nich będzie kosztował maksymalnie 8 000 R$, najwyższa kwota, jaką można wydać na umieszczenie tych postów, to:
66· 8 000 = 528 000
Raul Rodrigues de Oliveira
