Operasjoner med vektorer og geometriske representasjoner

I motsetning til de geometriske figurene som ble dannet av ham, Resultat har ingen definisjon. Dette betyr at et punkt i geometri er et udefinert objekt som brukes til å definere andre objekter. Linjer er for eksempel sett med punkter. Selv om de ser veldefinerte ut, har heller ikke linjene noen definisjon, da ethvert sett som inneholder to eller flere punkter anses som rett.

På den annen side, i analytisk geometri, blir poenget tatt som et sted. Enhver plassering kan representeres av et punkt, og i tillegg er "adressen" til det punktet gitt ved hjelp av koordinater.

Imidlertid, i analytisk geometri, kan punkter bare indikere steder. Andre objekter er nødvendige for å indikere bane, retning, retning og intensitet. Når det gjelder disse siste tre, er objektet valgt å representere dem i det kartesiske planet vektor.

→ Hva er en vektor?

Vektorerer derfor objekter som indikerer retning, sans og intensitet. De er vanligvis representert med piler, som starter fra opprinnelsen, og koordinatene til deres siste punkt brukes.

På bildet ovenfor er vektorene representert på denne måten, det vil si piler hvis koordinater tilsvarer deres endelige punkt. Vektor u har koordinater (2,2) og vektor v har koordinater (4,2). Pilen brukes også til å indikere retning og retning, og størrelsen indikerer intensitet.

→ Vektormultiplikasjon med et tall

Gitt vektoren v = (a, b), blir produktet av det reelle tallet k ved v gitt av uttrykket:

k · v = k · (a, b) = (k · a, k · b)

Med andre ord, for å multiplisere et reelt tall med en vektor, må du multiplisere det reelle tallet med hvert av koordinatene.

Ved å multiplisere en vektor med et reelt tall, øker vektorens størrelse lineært:

Merk at, i eksemplet ovenfor, har vektor u koordinater (2.2), og vektor u · k har koordinater (4.4). Å løse ligningen (4.4) = k (2.2), kan vi konkludere med at k = 2.

→ Legge til vektorer

Gitt to vektorer u = (a, b) og v = (c, d), vil summen mellom dem bli oppnådd gjennom uttrykket:

u + v = (a + c, b + d)

Med andre ord er det bare å legge sammen de tilsvarende koordinatene til hver vektor. Denne operasjonen kan utvides til sum av 3 eller flere vektorer med 3 eller flere dimensjoner.

Geometrisk, med utgangspunkt i sluttpunktet til vektor u, tegnes en vektor v 'parallelt med vektor v. Fra vektor v tegnes en vektor u 'parallelt med vektor u. Disse fire vektorene danner et parallellogram. Vektoren u + v er følgende diagonal av dette parallellogrammet:

Ikke stopp nå... Det er mer etter annonseringen;)

For å trekke vektorer, betrakt subtraksjon som summen av en vektor og motsatt av en annen. For å trekke for eksempel vektor v fra vektor u, skriv: u - v = u + (-v). -V-vektoren er v-vektoren, men med koordinattegnene omvendt.

Ser vi nøye på, operasjonene "multipliserer en vektor med et tall" og "legger til vektorer" bruk multiplikasjons- og tilleggsoperasjoner på reelle tall, men på hver komponent i vektor. Derfor, for vektorer, er alle egenskaper for addisjon og multiplikasjon av reelle tall gyldige, nemlig:

Gitt vektorene u, v og w og de reelle tallene k og l,

i) (u + v) + w = ​​u + (v + w)

ii) u + v = v + u

iii) det er en vektor 0 = (0.0) slik at v + 0 = v

iv) Det er en vektor -v slik at v + (-v) = 0

v) k (u + v) = ku + kv

vi) (k + l) v = kv + lv

vii) kl (v) = k (lv)

viii) 1v = v

→ Standard for en vektor

Normen til en vektor er ekvivalent med størrelsen på et reelt tall, det vil si avstanden mellom en vektor og punktet (0,0) eller, avhengig av referanserammen, lengden på vektoren.

Normen for vektoren v = (a, b) er betegnet med || v || og kan beregnes ved hjelp av uttrykket:

|| v || = √ (a² + b²)

→ Internt produkt

Det indre produktet kan sammenlignes med produktet mellom vektorene. Merk at produktet nevnt ovenfor er produktet mellom en vektor og et reelt tall. Nå, det aktuelle produktet er mellom to vektorer. Man skal imidlertid ikke si "produkt mellom to vektorer", men heller "internt produkt mellom to vektorer". Det indre produktet mellom vektorene v = (a, b) og u = (c, d) er betegnet med og kan beregnes som følger:

= a · c + b · d

Det er også vanlig å bruke følgende notasjon:

=

Merk at ved å bruke normen til vektoren v = (a, b), kan vi relatere normen og punktproduktet.

|| v || = √ (a² + b²) = √ (a · a + b · b) = √ ()

Av Luiz Paulo Moreira
Uteksamen i matematikk