Settet av primtall er gjenstand for studier i matte fra det antikke Hellas. Euclides diskuterte allerede emnet i sitt store verk "The Elements" og klarte å demonstrere at dette sett det er uendelig. Som vi vet er primtallene de som har tallet 1 som deler og seg selv, og dermed å finne veldig store primtall er ikke en lett oppgave, og Eratosthenes sikt gjør det enkelt. møte.
Hvordan vet du når et tall er prim?
Vi vet at et primtall er etden som har som deler nummer 1 og seg selv, så et tall som, i listen over delere, har andre tall enn 1 og i seg selv ikke vil være primtall, se:
Ved å liste opp 11 og 30 delere har vi:
D (11) = {1, 11}
D (30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 30}
Merk at tallet 11 bare har tallet 1 og seg selv som delere, så nummer 11 er et primtall. Nå, se på delene til tallet 30, det har, i tillegg til tallet 1 og seg selv, tallene 2, 3, 5, 6 og 10 med delere. Derfor, tallet 30 er ikke prime.
→ Eksempel: Oppfør primtall under 15.
For dette vil vi liste opp skillelinjene til alle tall mellom 2 og 15.
D (2) = {1, 2}
D (3) = {1,3}
D (4) = {1, 2, 4}
D (5) = {1, 5}
D (6) = {1, 2, 3, 6}
D (7) = {1, 7}
D (8) = {1, 2, 4, 8}
D (9) = {1, 3, 9}
D (10) = {1, 2, 5, 10}
D (11) = {1, 11}
D (12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
D (13) = {1, 13}
D (14) = {1, 2, 7, 14}
D (15) = {1, 3, 5, 15}
Dermed er primtall mindre enn 15:
2, 3, 5, 7, 11 og 13
La oss innse det, denne oppgaven ville ikke være veldig hyggelig, for eksempel hvis vi skulle skrive ned alle primtallene mellom 2 og 100. For å unngå det, vil vi lære å bruke, i neste emne, silen til Eratosthenes.
Ikke stopp nå... Det er mer etter annonseringen;)
Sikt etter Eratosthenes
Sigten til Eratosthenes er en verktøy som tar sikte på å lette bestemmelsen av primtall. Sigten består av fire trinn, og det er nødvendig, for å forstå dem, å huske på delbarhetskriterier. Før vi begynner trinn for trinn, må vi lage en tabell fra tallet 2 til ønsket nummer, siden tallet 1 ikke er primtall. Deretter:
→ Trinn 1: Fra delbarhetskriteriet med 2 har vi at partallene alle er delbare av det, det vil si nummer 2 vil vises i listen over delere, så disse tallene vil ikke være primære, og vi må ekskludere dem fra bord. Er de:
4, 6, 8, 10, 12, 14, …, 1000, 1002, 1004, …
→ Steg 2: Fra kriteriet delbarhet med 3, vet vi at et tall er delbart med 3 hvis sum av sifrene er det også. Dermed må vi ekskludere disse tallene fra tabellen, ettersom de ikke er primtall fordi det er et annet tall enn 1 og seg selv i listen over delere. Så vi må ekskludere tallene:
6, 9, 12, 15, 18, …, 2133, 2136, …
→ Trinn 3: Fra kriteriet delbarhet med 5, vet vi at alle tall som slutter på 0 eller 5 er delbare med 5, så vi må ekskludere dem fra tabellen.
10, 15, 20, 25, …, 655, 670,…
→ Trinn 4: På samme måte må vi ekskludere tall som er multipler av 7 fra tabellen.
14, 21, 28, …, 546, …
- Når vi kjenner silen til Eratosthenes, la oss bestemme primtallene mellom 2 og 100.
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
31 |
32 |
33 |
34 |
35 |
36 |
37 |
38 |
39 |
40 |
41 |
42 |
43 |
44 |
45 |
46 |
47 |
48 |
49 |
50 |
51 |
52 |
53 |
54 |
55 |
56 |
57 |
58 |
59 |
60 |
61 |
62 |
63 |
64 |
65 |
66 |
67 |
68 |
69 |
70 |
71 |
72 |
73 |
74 |
75 |
76 |
77 |
78 |
79 |
80 |
81 |
82 |
83 |
84 |
85 |
86 |
87 |
88 |
89 |
90 |
91 |
92 |
93 |
94 |
95 |
96 |
97 |
98 |
99 |
100 |
→ er ikke søskenbarn
→ primtall
Så primtallene mellom 2 og 100 er:
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97}
Les også: MMC og MDC beregning: hvordan gjør jeg det?
Nedbrytning av primærfaktor
DE nedbrytning av primærfaktor er formelt kjent som grunnleggende regning om regning. Denne teoremet sier at noen heltall forskjellig fra 0 og større enn 1 kan representeres av produktet av primtall. For å bestemme den fakturerte formen til et heltall, må vi utføre suksessive divisjoner til vi når resultatet lik 1. Se eksemplet:
→ Bestem den fakturerte formen til tallene 8, 20 og 350.
For å faktorere tallet 8, må vi dele det med det første mulige primtallet, i dette tilfellet med 2. Deretter utfører vi en annen inndeling også ved mulig prim, denne prosessen gjentas til vi når tallet 1 som svar på inndelingen. Se:
8: 2 = 4
4: 2 = 2
2: 2 = 1
Derfor er den fakturerte formen på tallet 8 2 · 2 · 2 = 23. For å forenkle denne prosessen vil vi bruke følgende metode:
Derfor kan tallet 8 skrives som: 23.
→ For å faktorere tallet 20, vil vi bruke samme metode, det vil si: dele det med primtall.
Så tallet 20, i sin fabrikkform, er: 2 · 2 · 5 eller 22 · 5.
→ På samme måte vil vi gjøre med tallet 350.
Derfor er tallet 350, i sin fabrikkform: 2 · 5 · 5 · 7 eller 2 · 52 · 7.
Se også: Vitenskapelig notasjon: hva er det til?
Øvelser løst
Spørsmål 1 - Forenkle uttrykket:
Løsning
La oss først faktorisere uttrykket for å gjøre det lettere.
Dermed 1024 = 210, og derfor kan vi erstatte hverandre i øvelsesuttrykket. Og dermed:
av Robson Luiz
Matematikklærer
