Matrisemultiplikasjon: hvordan man beregner, eksempler

DE mmatrisemultiplikasjon gjøres gjennom en algoritme som krever mye oppmerksomhet. For at produktet mellom matrise A og matrise B skal eksistere, det er nødvendig at antall kolonner gir først hovedkvarter, i tilfelle A, er lik antall linjer gir mandag hovedkvarter, i tilfelle B.

Fra multiplikasjonen mellom matriser er det mulig å forstå hva identitetsmatrisen er, som er den nøytralt element av matriksmultiplikasjon, og hva er den inverse matrisen til matrise M, som er matrise M^-1 hvis produkt av M av M^-1 er lik identitetsmatrisen. Det er også mulig å multiplisere en matrise med et reelt tall - i dette tilfellet multipliserer vi hver av begrepene til hovedkvarter etter antall.

Les også: Hva er en trekantet matrise?

eksistensbetingelse

Multiplikasjonen mellom matriser er en prosess som krever mye oppmerksomhet.

For å multiplisere to matriser er det først nødvendig å sjekke eksistensbetingelsen. For at produktet skal eksistere, antall kolonner i den første matrisen må være lik antall rader i den andre matrisen.

Videre er resultatet av multiplikasjonen en matrise som har samme antall rader som den første matrisen og samme antall kolonner som den andre matrisen.

For eksempel produktet AB mellom matriser A_3x2 og B_2x5 eksisterer fordi antall kolonner i A (2 kolonner) er lik antall rader i B (2 rader), og resultatet er matrise AB_3x5. Allerede produkt mellom C-matriser_3x5 og matrise D_2x5 eksisterer ikke, ettersom C har 5 kolonner og D har 3 rader.

Hvordan beregner du produktet mellom to matriser?

For å utføre matrisemultiplikasjon, det er nødvendig å følge noen trinn. Vi vil lage et eksempel på multiplikasjonen av en algebraisk matrise A._2x3 av matrise B_3x2

Vi vet at produktet eksisterer, fordi matrise A har 3 kolonner, og matrise B, 3 rader. Vi vil kalle C resultatet av multiplikasjonen A · B. I tillegg vet vi også at resultatet er en C-matrise._2x2, fordi matrise A har 2 rader, og matrise B, 2 kolonner.

For å beregne produktet av matrise A_2x3 og matrise B_3x2, la oss følge noen trinn.

Først finner vi hvert av begrepene i matrisen C_2x2:

La oss finne ordene relatere alltid radene til matrise A til kolonnene i matrise B:

ç₁₁ → 1. linje i A. og 1. kolonne av B
ç₁₂ → 1. linje i A. og 2. kolonne av B
ç₂₁ → 2. linje av A. og 1. kolonne av B
ç₂₂ → 2. linje av A. og 2. kolonne av B

Vi beregner hvert av begrepene ved å multiplisere begrepene i A-raden og vilkårene i kolonnen B. Nå må vi legge til disse produktene, fra og med ç_11:

1. linje i A.
1. kolonne av B

ç₁₁ = De₁₁· B₁₁ + De₁₂· B₂₁+ De₁₃· B₃₁

beregning ç₁₂:

1. linje i A.
2. kolonne av B

ç₁₂ = De₁₁· B₁₂ + De₁₂· B₂₂+De₁₃· B₃₂

beregning ç₂₁:

2. linje av A.
1. kolonne av B

ç₂₁ = De₂₁· B₁₁ + De₂₂· B₂₁+De₂₃· B₃₁

beregne begrepet ç₂₂:

2. linje av A.
2. kolonne av B

ç₂₂ = De₂₁· B₁₂ + De₂₂· B₂₂+De₂₃· B₃₂

Dermed dannes matrise C av uttrykkene:

Eksempel:

La oss beregne multiplikasjonen mellom matriser A og B.

Det vet vi i A_2x2 og B_2x3, antall kolonner i den første er lik antall rader i den andre, så produktet eksisterer. Så vi lager C = A · B, og vi vet at C_2x3.

Når vi multipliserer, må vi:

Se også: Hva er en transponert matrise?

identitetsmatrise

I multiplikasjon mellom matriser er det noen spesielle tilfeller, for eksempel identitetsmatrisen, som er det nøytrale elementet i multiplikasjon mellom matriser.. Identitetsmatrisen er en kvadratmatrise, det vil si at antall rader alltid er lik antall kolonner. Videre er bare vilkårene for diagonalen lik 1 i den, og de andre begrepene er alle lik null. Når vi multipliserer en matrise M med identitetsmatrisen I_Nei, Vi må:

M · I_Nei = M

Identitetsmatriser fra ordre 2 til ordre 5

Eksempel:

Hva er den omvendte matrisen?

Gitt en matrise M, kjenner vi den som en invers matrise av M. matrisen M^-1hvis produkt M · M^-1 er lik à identitetsmatrise I_Nei. For at en matrise skal ha en invers, må den være firkantet, og dens avgjørende faktor må være forskjellig fra 0. La oss se på eksempler på matriser som er inverse:

Når vi beregner produktet A · B, må vi:

Merk at produkt mellom A og B generert matrise I₂. Når dette skjer, sier vi at B er den omvendte matrisen til A. For å lære mer om denne typen matrikser, les: Invers matrise.

Matrisemultiplikasjon med et reelt tall

I motsetning til multiplikasjon mellom matriser, er det også matriksmultiplikasjon med en ekte nummer, som er en mye enklere operasjon for å finne løsningen.

Gitt en matrise M, multiplisere matrisen med et reelt tall k er lik matrisen kM. For å finne denne matrisen kM, nok multipliser alle termer i matrisen med konstanten k.

Eksempel:

hvis k = 5 og vurder matrise M nedenfor, finn matrise 5M.

Multiplisere:

løste øvelser

Spørsmål 1 - (Unitau) Gitt matrise A og B,

verdien av elementet c₁₁ av matrise C = AB er:

A) 10.

B) 28.

C) 38.

D) 18.

E) 8.

Vedtak

Alternativ A.

Hvordan ønsker vi begrepet c₁₁la oss multiplisere ordene i første rad og A med ordene i første kolonne av B.

beregning c₁₁ = 1 · 3 + 2 · 2 + 3 · 1 = 3 + 4 + 3 = 10

Spørsmål 2 - (Enem 2012) En student registrerte to måneders karakterer for noen av fagene sine i en tabell. Han bemerket at de numeriske oppføringene i tabellen utgjorde en matrise på 4 × 4, og at han kunne beregne årsgjennomsnittet for disse fagene ved å bruke produktet av matriser. Alle testene hadde samme vekt, og tabellen han fikk er vist nedenfor.

For å oppnå disse gjennomsnittene multipliserte han matrisen oppnådd fra tabellen med matrisen:

Vedtak

Alternativ E.

Gjennomsnittet er ikke noe mer enn summen av elementer delt på antall elementer. Merk at det er 4 notater per linje, så gjennomsnittet vil være summen av disse notatene delt på 4. Å dele med 4 er det samme som å multiplisere med brøkdel ¼. Også matrisen av karakterer er en 4x4 matrise, så vi må multiplisere med en 4x1 matrise, det vil si at den har 4 rader og en kolonne, for å finne matrisen som har gjennomsnittet av karakterene.

Av Raul Rodrigues de Oliveira
Matematikklærer

Kilde: Brasilskolen - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/multiplicacao-matrizes.htm