I studien av komplekse tall kommer vi over følgende likhet: i2 = – 1.
Begrunnelsen for denne likheten er vanligvis forbundet med å løse 2. grads ligninger med negative kvadratrøtter, noe som er en feil. Opprinnelsen til uttrykket i2 = - 1 vises i definisjonen av komplekse tall, et annet tema som også reiser mye tvil. La oss forstå årsaken til slik likhet og hvordan den oppstår.
La oss først gjøre noen definisjoner.
1. Et ordnet par reelle tall (x, y) kalles et komplekst tall.
2. Komplekse tall (x1y1) og (x2y2) er like hvis og bare hvis x1 = x2 og y1 = y2.
3. Tillegg og multiplikasjon av komplekse tall er definert av:
(x1y1) + (x2y2) = (x1 + x2y1 + y2)
(x1y1) * (x2y2) = (x1* x2 - y1* y2, x1* y2 + y1* x2)
Eksempel 1. Vurder z1 = (3, 4) og z2 = (2, 5), beregne z1 + z2 og z1* z2.
Løsning:
z1 + z2 = (3, 4) + (2, 5) = (3+2, 4+5) = (5, 9)
z1* z2 = (3, 4)*(2, 5) = (3*2 – 4*5, 3*5 + 4*2) = (– 14, 23)
Ved å bruke den tredje definisjonen er det lett å vise at:
(x1, 0) + (x2, 0) = (x1 + x2, 0)
(x1, 0) * (x2, 0) = (x
Disse likhetene viser at med hensyn til addisjon og multiplikasjonsoperasjoner oppfører komplekse tall (x, y) seg som reelle tall. I denne sammenheng kan vi etablere følgende forhold: (x, 0) = x.
Ved å bruke dette forholdet og symbolet i for å representere det komplekse tallet (0, 1), kan vi skrive hvilket som helst komplekst tall (x, y) som følger:
(x, y) = (x, 0) + (0, 1) * (y, 0) = x + iy → som er det normale formanropet til et komplekst nummer.
Dermed blir det komplekse tallet (3, 4) i normal form 3 + 4i.
Eksempel 2. Skriv følgende komplekse tall i normal form.
a) (5, - 3) = 5 - 3i
b) (- 7, 11) = - 7 + 11i
c) (2, 0) = 2 + 0i = 2
d) (0, 2) = 0 + 2i = 2i
Legg merke til at vi kaller i det komplekse nummeret (0, 1). La oss se hva som skjer når vi lager i2.
Vi vet at i = (0, 1) og at jeg2 = i * i. Følg det:
Jeg2 = i * i = (0, 1) * (0, 1)
Ved å bruke definisjon 3 vil vi ha:
Jeg2 = i * i = (0, 1) * (0, 1) = (0 * 0 - 1 * 1, 0 * 1 + 1 * 0) = (0 - 1, 0 + 0) = (- 1, 0 )
Som vi så tidligere, var hvert komplekse tall i skjemaet (x, 0) = x. Og dermed,
Jeg2 = i * i = (0, 1) * (0, 1) = (0 * 0 - 1 * 1, 0 * 1 + 1 * 0) = (0 - 1, 0 + 0) = (- 1, 0 ) = - 1.
Vi ankom den berømte likestillingen i2 = – 1.
Ikke stopp nå... Det er mer etter annonseringen;)
Av Marcelo Rigonatto
Spesialist i statistikk og matematisk modellering
Brasil skolelag
Komplekse tall - Matte - Brasilskolen
