Øv på kunnskapen din om lineære systemer, et viktig matteemne som involverer studiet av simultane ligninger. Med mange praktiske anvendelser brukes de til å løse problemer som involverer forskjellige variabler.
Alle spørsmål løses steg for steg, hvor vi vil bruke ulike metoder, som: substitusjon, addisjon, eliminering, skalering og Cramers regel.
Spørsmål 1 (erstatningsmetode)
Bestem det ordnede paret som løser følgende system med lineære ligninger.
Respons:
Isoler x i den første ligningen:
Sette inn x i den andre ligningen:
Sette inn verdien av y i den første ligningen.
Så det bestilte paret som løser systemet er:
Spørsmål 2 (skaleringsmetode)
Løsningen til følgende system av lineære ligninger er:
Svar: x = 5, y = 1, z = 2
Systemet er allerede i echelonform. Den tredje ligningen har to null koeffisienter (y = 0 og x = 0), den andre ligningen har en null koeffisient (x = 0), og den tredje ligningen har ingen null koeffisienter.
I et echelonsystem løser vi «fra bunn til topp», det vil si at vi starter med den tredje ligningen.
Går vi til den øverste ligningen, erstatter vi z = 2.
Til slutt erstatter vi z = 2 og y = 1 i den første ligningen, for å få x.
Løsning
x = 5, y = 1, z = 2
Spørsmål 3 (Cramers regel eller metode)
Løs følgende system med lineære ligninger:
Svar: x = 4, y = 0.
Bruker Cramers regel.
Trinn 1: Bestem determinantene D, Dx og Dy.
Matrisen av koeffisienter er:
Dens determinant:
D = 1. 1 - 2. (-1)
D = 1 - (-2) = 1 + 2 = 3
For beregningen av Dx erstatter vi kolonnen med termer av x med kolonnen med uavhengige termer.
Dx = 4. 1 - 8. (-1)
Dx = 4 + 8 = 12
For beregningen av Dy erstatter vi vilkårene til y med de uavhengige vilkårene.
Dy = 1. 8 - 2. 4
Dy = 8 - 8
Dy = 0
steg 2: Bestem x og y.
For å bestemme x, gjør vi:
For å bestemme y, gjør vi:
spørsmål 4
En selger av t-skjorter og capser på en sportsbegivenhet solgte 3 t-skjorter og 2 capser, og samlet inn R$220,00. Dagen etter solgte han 2 skjorter og 3 capser, og samlet inn R$190,00. Hva ville være prisen på en t-skjorte og prisen på en lue?
a) T-skjorte: BRL 60,00 | Kapp: BRL 40,00
b) T-skjorte: BRL 40,00 | Kapp: BRL 60,00
c) T-skjorte: BRL 56,00 | Kapp: 26,00 BRL
d) T-skjorte: BRL 50,00 | Kapp: BRL 70,00
e) T-skjorte: BRL 80,00 | Kapp: BRL 30,00
La oss merke prisen på T-skjorter c og prisen på hatter b.
For den første dagen har vi:
3c + 2b = 220
For den andre dagen har vi:
2c + 3b = 190
Vi danner to likninger med to ukjente hver, c og b. Så vi har et system med 2x2 lineære ligninger.
Vedtak
Bruke Cramers regel:
1. trinn: determinant for matrisen av koeffisienter.
2. trinn: determinant Dc.
Vi erstatter kolonnen av c med matrisen av uavhengige ledd.
3. trinn: determinant Db.
4. trinn: Bestem verdien av c og b.
Respons:
Prisen på T-skjorten er R$56,00 og capsen R$26,00.
spørsmål 5
En kino koster R$10,00 per billett for voksne og R$6,00 per billett for barn. På en dag ble 80 billetter solgt og den totale samlingen var R$ 700,00. Hvor mange billetter av hver type ble solgt?
a) Voksne: 75 | Barn: 25
b) Voksne: 40 | Barn: 40
c) Voksne: 65 | Barn: 25
d) Voksne: 30 | Barn: 50
e) Voksne: 25 | Barn: 75
Vi vil navngi den som De billettprisen for voksne og w for barn.
I forhold til totalt antall billetter har vi:
a + c = 80
Når det gjelder den oppnådde verdien har vi:
10a + 6c = 700
Vi danner et system av lineære ligninger med to ligninger og to ukjente, det vil si et 2x2 system.
Vedtak
Vi vil bruke substitusjonsmetoden.
Isolere a i den første ligningen:
a = 80 - c
Bytter a inn i den andre ligningen:
10.(80 - c) + 6c = 700
800 -10c + 6c = 700
800 - 700 = 10c - 6c
100 = 4c
c = 100/4
c = 25
Bytter ut c i den andre ligningen:
6a + 10c = 700
6a+10. 25 = 700
6y + 250 = 700
6a = 700 - 250
6a = 450
a = 450/6
a = 75
spørsmål 6
En butikk selger T-skjorter, shorts og sko. Den første dagen ble det solgt 2 T-skjorter, 3 shorts og 4 par sko, til sammen R$ 350,00. Den andre dagen ble det solgt 3 T-skjorter, 2 shorts og 1 par sko, til sammen R$ 200,00. På den tredje dagen ble 1 T-skjorte, 4 shorts og 2 par sko solgt, til sammen R$ 320,00. Hvor mye ville en t-skjorte, shorts og et par sko koste?
a) T-skjorte: BRL 56,00 | Bermuda: R$ 24,00 | Sko: BRL 74,00
b) T-skjorte: BRL 40,00 | Bermuda: R$ 50,00 | Sko: BRL 70,00
c) T-skjorte: BRL 16,00 | Bermuda: R$ 58,00 | Sko: BRL 36,00
d) T-skjorte: BRL 80,00 | Bermuda: R$ 50,00 | Sko: BRL 40,00
e) T-skjorte: BRL 12,00 | Bermuda: R$ 26,00 | Sko: BRL 56,00
- c er prisen på skjorter;
- b er prisen på shortsen;
- s er prisen på skoene.
For den første dagen:
2c + 3b + 4s = 350
For den andre dagen:
3c + 2b + s = 200
For den tredje dagen:
c + 4b + 2s = 320
Vi har tre ligninger og tre ukjente, og danner et 3x3 system av lineære ligninger.
Bruker Cramers regel.
Matrisen av koeffisienter er
Dens determinant er D = 25.
Kolonnematrisen med svar er:
For å beregne Dc, erstatter vi kolonnematrisen med svar med den første kolonnen i matrisen av koeffisienter.
dc = 400
For beregning av Db:
Db = 1450
For beregning av Ds:
Ds = 900
For å bestemme c, b og s deler vi determinantene Dc, Db og Ds med hoveddeterminanten D.
spørsmål 7
En restaurant tilbyr tre retter: kjøtt, salat og pizza. Den første dagen ble det solgt 40 kjøttretter, 30 salatretter og 10 pizzaer, til sammen 700,00 R$ i salg. Den andre dagen ble det solgt 20 kjøttretter, 40 salatretter og 30 pizzaer, til sammen R$ 600,00 i salg. Den tredje dagen ble 10 kjøttretter, 20 salatretter og 40 pizzaer solgt, til sammen 500,00 R$ i salg. Hvor mye vil hver rett koste?
a) kjøtt: BRL 200,00 | salat: R$ 15,00 | pizza: 10,00 BRL
b) kjøtt: R$ 150,00 | salat: R$ 10,00 | pizza: BRL 60,00
c) kjøtt: 100,00 BRL | salat: R$ 15,00 | pizza: BRL 70,00
d) kjøtt: BRL 200,00 | salat: R$ 10,00 | pizza: BRL 15,00
e) kjøtt: BRL 140,00 | salat: R$ 20,00 | pizza: BRL 80,00
Ved hjelp av:
- c for kjøtt;
- s for salat;
- p for pizza.
På den første dagen:
På den andre dagen:
På den tredje dagen:
Prisen på hver rett kan fås ved å løse systemet:
Vedtak
Bruker eliminasjonsmetoden.
Multipliser 20c + 40s + 30p = 6000 med 2.
Trekk fra den andre matriseligningen oppnådd fra den første.
I matrisen ovenfor erstatter vi denne ligningen med den andre.
Vi multipliserer den tredje ligningen ovenfor med 4.
Trekker vi den tredje fra den første ligningen, får vi:
Erstatter ligningen oppnådd med den tredje.
Når vi trekker fra ligning to og tre, har vi:
Fra den tredje ligningen får vi p = 80.
Erstatter p i den andre ligningen:
50s + 50,80 = 5000
50s + 4000 = 5000
50-tallet = 1000
s = 1000/50 = 20
Erstatter verdiene til s og p i den første ligningen:
40c + 30,20 + 10,80 = 7000
40c + 600 + 800 = 7000
40c = 7000 - 600 - 800
40c = 5600
c = 5600 / 40 = 140
Løsning
p=80, s=20 og c=140
spørsmål 8
(UEMG) I planen, systemet representerer et par linjer
a) tilfeldig.
b) distinkt og parallell.
c) samtidige linjer ved punktet ( 1, -4/3 )
d) samtidige linjer ved punktet ( 5/3, -16/9 )
Multiplisere den første ligningen med to og legge til de to ligningene:
Erstatter x i ligning A:
spørsmål 9
(PUC-MINAS) Et visst laboratorium sendte 108 bestillinger til apotekene A, B og C. Det er kjent at antall bestillinger sendt til apotek B var det dobbelte av det totale antallet bestillinger sendt til de to andre apotekene. I tillegg ble tre bestillinger mer enn halvparten av beløpet sendt til apotek A sendt til apotek C.
Basert på denne informasjonen er det RIKTIG å opplyse at det totale antallet bestillinger sendt til apotek B og C var
a) 36
b) 54
c) 86
d) 94
I følge uttalelsen har vi:
A + B + C = 108.
Dessuten at mengden B var dobbelt så stor som A + C.
B = 2(A + C)
Tre bestillinger ble sendt til apotek C, mer enn halvparten av kvantumet ble sendt til apotek A.
C = A/2 + 3
Vi har ligninger og tre ukjente.
Bruker substitusjonsmetoden.
Trinn 1: Erstatt den tredje med den andre.
Trinn 2: Erstatt det oppnådde resultatet og den tredje ligningen i den første.
Trinn 3: Erstatt verdien av A for å bestemme verdiene til B og C.
B = 3A + 6 = 3,22 + 6 = 72
For C:
Trinn 4: legg til verdiene til B og C.
72 + 14 = 86
spørsmål 10
(UFRGS 2019) Slik at systemet med lineære ligninger mulig og bestemt, det er nødvendig og tilstrekkelig at
a) a ∈ R.
b) a = 2.
c) a = 1.
d) a ≠ 1.
c) a ≠ 2.
En av måtene å klassifisere et system som mulig og bestemme er gjennom Cramers metode.
Betingelsen for dette er at determinantene er forskjellige fra null.
Gjør determinanten D til hovedmatrisen lik null:
For å lære mer om lineære systemer:
- Lineære systemer: hva de er, typer og hvordan de løses
- Ligningssystemer
- Skalering av lineære systemer
- Cramers regel
For flere øvelser:
- Ligningssystemer av 1. grad
ASTH, Rafael. Øvelser på løste lineære systemer.All Matter, [n.d.]. Tilgjengelig i: https://www.todamateria.com.br/exercicios-de-sistemas-lineares-resolvidos/. Tilgang på:
Se også
- Lineære systemer
- Skalering av lineære systemer
- Ligningssystemer
- 11 øvelser om matrisemultiplikasjon
- Andregradsligning
- Ulikhetsøvelser
- 27 Grunnleggende matematikkøvelser
- Cramers regel