Studer med de løste sinus-, cosinus- og tangensøvelsene. Øv og fjern tvilen din med de kommenterte øvelsene.
Spørsmål 1
Bestem verdiene til x og y i følgende trekant. Tenk på sin 37º = 0,60, cosinus på 37º = 0,79 og tan 37º = 0,75.
Svar: y = 10,2 m og x = 13,43 m
For å bestemme y bruker vi sinus på 37º, som er forholdet mellom motsatt side og hypotenusen. Det er verdt å huske at hypotenusen er segmentet motsatt 90º-vinkelen, så det er verdt 17 m.
For å bestemme x kan vi bruke cosinus til 37º, som er forholdet mellom siden ved siden av vinkelen på 37º og hypotenusen.
spørsmål 2
Bestem verdien av vinkelen i følgende rettvinklede trekant , i grader, og dens sinus, cosinus og tangens.
Ta i betraktning:
sin 28º = 0,47
cos 28º = 0,88
Svare: ,
I en trekant er summen av de indre vinklene lik 180°. Som en rettvinklet trekant er det en 90º vinkel, så det er ytterligere 90º igjen for de to vinklene.
På denne måten har vi:
Siden disse vinklene er komplementære (fra en av dem er den andre hvor mye som er igjen for å fullføre 90º), er det gyldig at:
cos 62º = sin 28º = 0,47
og
sin 62º = cos 28º = 0,88
Tangentberegning
Tangenten er forholdet mellom sinus og cosinus.
spørsmål 3
På et bestemt tidspunkt på en solrik dag projiseres skyggen av et hus i 23 meter. Denne resten utgjør 45º i forhold til bakken. På denne måten bestemmer du høyden på huset.
Svar: Høyden på huset er 23 m.
For å bestemme en høyde, og kjenne helningsvinkelen, bruker vi tangenten til 45°-vinkelen.
45° tangens er lik 1.
Huset og skyggen på bakken er bena til en rettvinklet trekant.
Dermed er høyden på huset 23 m.
spørsmål 4
En landmåler er en fagperson som bruker matematisk og geometrisk kunnskap til å ta mål og studere en overflate. Ved hjelp av en teodolitt, et verktøy som blant annet måler vinkler, plassert på 37 meter vekk fra en bygning fant han en vinkel på 60° mellom et plan parallelt med bakken og høyden på bygning. Hvis teodolitten var på et stativ 180 cm fra bakken, bestemmer du høyden på bygningen i meter.
ta i betraktning
Svar: Høyden på bygget er 65,81 m.
Lage en skisse av situasjonen vi har:
Dermed kan høyden på bygningen bestemmes ved hjelp av tangenten 60º, fra høyden der teodolitten er, og legge til resultatet med 180 cm eller 1,8 m, siden det er høyden den er fra bakken.
60° tangenten er lik .
Høyde fra teodolitten
Total høyde
64,01 + 1,8 = 65,81 m
Høyden på bygget er 65,81 m.
spørsmål 5
Bestem omkretsen av femkanten.
Ta i betraktning:
sin 67° = 0,92
cos 67° = 0,39
brun 67° = 2,35
Svar: Omkretsen er 219,1 m.
Omkretsen er summen av sidene til femkanten. Siden det er en rektangulær del som måler 80 m, er den motsatte siden også 80 m lang.
Omkretsen er gitt av:
P = 10 + 80 + 80 + a + b
P = 170 + a + b
Å være De, parallelt med den blå stiplede linjen, kan vi bestemme lengden ved hjelp av 67°-tangenten.
For å bestemme verdien av b bruker vi cosinus på 67°
Så omkretsen er:
P = 170 + 23,5 + 25,6 = 219,1 m
spørsmål 6
Finn sinus og cosinus til 1110°.
Med tanke på den trigonometriske sirkelen har vi at en hel sving har 360°.
Når vi deler 1110° med 360° får vi 3,0833.... Dette betyr 3 hele svinger og litt til.
Ved å ta 360° x 3 = 1080° og trekke fra 1110 har vi:
1110° - 1080° = 30°
Vurderer retningen mot klokken som positiv, etter tre hele svinger går vi tilbake til begynnelsen, 1080° eller 0°. Fra dette punktet går vi ytterligere 30°.
Så sinus og cosinus til 1110° er lik sinus og cosinus til 30°
spørsmål 7
(CEDERJ 2021) Under studien for en trigonometritest lærte Júlia at sin² 72° er lik
1 - cos² 72°.
cos² 72° - 1.
tg² 72° - 1.
1 - tg² 72º.
Det grunnleggende forholdet til trigonometri sier at:
Hvor x er verdien av vinkelen.
Ved å ta x = 72º og isolere sinusen, har vi:
spørsmål 8
Ramper er en god måte å sikre fremkommelighet for rullestolbrukere og bevegelseshemmede. Tilgjengelighet til bygninger, møbler, rom og urbant utstyr er garantert ved lov.
The Brazilian Association of Technical Norms (ABNT), i samsvar med den brasilianske loven for inkludering av personer med Funksjonshemming (13.146/2015), regulerer konstruksjonen og definerer helningen på rampene, samt beregningene for deres konstruksjon. ABNT-beregningsretningslinjene indikerer en maksimal stigningsgrense på 8,33 % (forhold 1:12). Dette betyr at en rampe, for å overvinne en forskjell på 1 m, må være minst 12 m lang og dette definerer at skråningsvinkelen på rampen, i forhold til horisontalplanet, ikke kan være større enn 7°.
I henhold til tidligere informasjon, slik at en rampe, med en lengde lik 14 m og en helning på 7º i i forhold til flyet, er innenfor ABNT-normene, må det tjene til å overvinne et gap med en maksimal høyde på
Bruk: sin 7. = 0,12; cos 7º = 0,99 og tan 7º = 0,12.
a) 1,2 m.
b) 1,32 m.
c) 1,4 m.
d) 1,56 m.
e) 1,68 m.
Rampen danner en rettvinklet trekant hvor lengden er 14 m, og gir en vinkel på 7º i forhold til horisontalen, hvor høyden er siden motsatt vinkelen.
Ved å bruke sinus på 7°:
Høyden som rampen skal nå er 1,68 m.
spørsmål 9
(Unesp 2012) Det bygges et sykehusbygg i skrånende terreng. For å optimalisere konstruksjonen tegnet den ansvarlige arkitekten parkeringsplassen i kjelleren av bygget, med inngang fra bakgaten til tomten. Sykehusets resepsjon ligger 5 meter over parkeringsplassens nivå, noe som krever bygging av en rett påkjøringsrampe for pasienter med bevegelsesvansker. Figuren viser skjematisk denne rampen (r), som forbinder punkt A, på mottaksetasjen, til punkt B, på parkeringsetasjen, som må ha en minimum α-helling på 30º og maksimalt 45º.
Under disse forholdene og med tanke på , hva skal være maksimums- og minimumsverdiene, i meter, av lengden på denne adkomstrampen?
Svar: Lengden på påkjøringsrampen vil være 7 m minimum og 10 m maksimum.
Prosjektet forutser allerede og setter høyden til 5 m. Vi må beregne lengden på rampen, som er hypotenusen til den rette trekanten, for vinklene 30° og 45°.
For beregningen brukte vi sinusen til vinkelen, som er forholdet mellom motsatt side, 5m, og hypotenusen r, som er lengden på rampen.
For de bemerkelsesverdige vinklene 30° og 45° er sinusverdiene:
for 30°
til 45°
rasjonalisere
Erstatter verdien av
spørsmål 10
(EPCAR 2020) Om natten flyr et brasiliansk flyvåpenhelikopter over et flatt område og oppdager en UAV (Air Vehicle) Ubemannet) av sirkulær form og ubetydelig høyde, med en radius på 3 m parkert parallelt med bakken i 30 m fra høyde.
UAV-en er i en avstand y meter fra en søkelykt som er installert på helikopteret.
Lysstrålen fra søkelyset som passerer UAVen faller på det flate området og produserer en sirkulær skygge med sentrum O og radius R.
Radius R av skyggens omkrets danner en vinkel på 60º med lysstrålen, som vist i følgende figur.
I det øyeblikket løper en person som er i punkt A på omkretsen av skyggen til punkt O, fot fra perpendikulæren trukket fra rampelyset til planområdet.
Avstanden, i meter, som denne personen reiser fra A til O er et tall mellom
a) 18 og 19
b) 19 og 20
c) 20 og 21
d) 22 og 23
objektiv
Bestem segmentlengden , radius av sirkelen til skyggen.
Data
- Høyde fra O til UAV er 30 m.
- UAV-ens radius er 3 m.
Ved å bruke 60°-tangenten bestemmer vi delen som er uthevet i rødt i følgende bilde:
Tatt i betraktning tangensen til 60° = og tangenten er forholdet mellom siden motsatt vinkelen og dens tilstøtende side, vi har:
rasjonalisere
Lengden AO er
nærmer seg verdien av
Den omtrentlige måling av AO-segmentet er 20,3 m, det vil si en verdi mellom 20 og 21.
Studer også med:
- Sinus, Cosinus og Tangent
- Trigonometriøvelser i den rette trekanten
- Trigonometriøvelser
- Trigonometri i den høyre trekanten
- Trigonometri
- trigonometriske identiteter
- Øvelser om trigonometriske forholdstall
- Metriske relasjoner i den høyre trekanten
- Trigonometriske forhold
- vinkler
- Trigonometriske forhold
- trigonometrisk tabell
- Trigonometriske funksjoner
- Trigonometrisk sirkel
- Sinusloven
- Cosinusloven
