Faktoriseringen av polynomer består av metoder utviklet for å omskrive et polynom som et produkt mellom polynomer. Skriv polynomet som multiplikasjon mellom to eller flere faktorer hjelper til med å forenkle algebraiske uttrykk og forstå et polynom.
Det er forskjellige tilfeller av factoring, og for hver av dem er det spesifikke teknikker.. De eksisterende tilfellene er: faktorisering etter felles faktor i bevis, faktorisering etter gruppering, forskjell mellom to kvadrater, perfekt kvadrattrinomial, sum av to terninger og forskjell av to terninger.
Les mer:Hva er polynom?
Sammendrag om faktorisering av polynomer
Faktorisering av polynomer er teknikker som brukes til å representere polynomet som et produkt mellom polynomer.
Vi bruker denne faktoriseringen for å forenkle algebraiske uttrykk.
-
Faktoringstilfellene er:
Factoring etter felles faktor i bevis;
Faktorering ved gruppering;
perfekt kvadratisk trinomium;
forskjell på to firkanter;
summen av to terninger;
Forskjellen på to kuber.
Polynomfaktorer
For å faktorisere et polynom, det er nødvendig å analysere i hvilke av factoring-tilfellene situasjonen passer, er: faktorisering etter felles faktor i bevis, faktorisering ved gruppering, forskjell mellom to kvadrater, perfekt kvadrattrinomial, sum av to terninger og forskjell av to terninger. La oss se hvordan du utfører faktoriseringen i hver av dem.
Felles faktor i bevis
Vi bruker denne faktoriseringsmetoden når det er en faktor som er felles for alle ledd i polynomet. Denne felles faktoren vil bli fremhevet som en faktor, og den andre faktoren, resultatet av inndeling av begrepene av den felles faktoren, vil bli plassert innenfor parentesen.
Eksempel 1:
20xy + 12x² + 8xy²
Ved å analysere hvert ledd i dette polynomet er det mulig å se at x gjentas i alle ledd. Dessuten er alle koeffisientene (20, 12 og 8) multipler av 4, så faktoren som er felles for alle ledd er 4x.
Ved å dele hvert ledd med fellesfaktoren har vi:
20xy: 4x = 5y
12x²: 4x = 3x
8xy²: 4x = 2y²
Nå skal vi skrive faktoriseringen og sette den felles faktoren i bevis og sum av resultatene funnet i parentes:
4x (5y + 3x + 2y²)
Eksempel 2:
2a²b² + 3a³b – 4a5b³
Ved å analysere den bokstavelige delen av hvert ledd, er det mulig å se at a²b gjentas i dem alle. Merk at det ikke er noe tall som deler 2, 3 og – 4 samtidig. Så den felles faktoren vil bare være a²b.
2a²b²: a²b = 2b
3a³b: a²b = 3a
45b³: a²b = 4a³
Dermed vil faktoriseringen av dette polynomet være:
a²b (2b + 3a + 4a³)
Se også: Addisjon, subtraksjon og multiplikasjon av polynomer - forstå hvordan de gjøres
gruppering
Denne metoden er brukes når det ikke er noen felles faktor for alle ledd i polynomet. I dette tilfellet identifiserer vi termer som kan grupperes med en felles faktor og fremhever dem.
Eksempel:
Faktor følgende polynom:
ax + 4b + bx + 4a
Vi vil gruppere begrepene som har a og b som en felles faktor:
ax + 4a + bx + 4b
Når vi setter a og b som bevis i form av to og to, har vi:
a(x+4)+b(x+4)
Merk at innenfor parentesen er faktorene de samme, så vi kan omskrive dette polynomet som:
(a + b) (x + 4)
perfekt kvadratisk trinomium
Trinomialer er polynomer med 3 ledd. Et polynom er kjent som et perfekt kvadratisk trinomium når det er det sum i andre eller forskjell i andre resultat, det er:
a² + 2ab + b² = (a + b) ²
a² – 2ab + b² = (a – b) ²
Viktig: Ikke hver gang det er tre ledd vil dette polynomet være et perfekt kvadratisk trinomium. Derfor, før du utfører faktoriseringen, må det verifiseres om trinomialet passer i dette tilfellet.
Eksempel:
Faktor, hvis mulig, polynomet
x² + 10x + 25
Etter å ha analysert dette trinomiale, vil vi trekke ut kvadratrot første og siste semester:
\(\sqrt{x^2}=x\)
\(\sqrt{25}=5\)
Det er viktig å verifisere at det sentrale leddet, det vil si 10x, er lik \(2\cdot\ x\cdot5\). Merk at det faktisk er det samme. Så dette er et perfekt kvadratisk trinomium, som kan faktoriseres av:
x² + 10x + 25 = (x + 5)²
forskjell på to firkanter
Når vi har en forskjell på to kvadrater, vi kan faktorisere dette polynomet ved å omskrive det som produktet av summen og differansen.
Eksempel:
Faktor polynomet:
4x² – 36y²
Først vil vi beregne kvadratroten av hver av termene:
\(\sqrt{4x^2}=2x\)
\(\sqrt{36y^2}=6y\)
Nå vil vi omskrive dette polynomet som produktet av summen og forskjellen av røttene som er funnet:
4x² – 36y² = (2x + 6y) (2x – 6y)
Les også: Algebraisk beregning som involverer monomialer - lær hvordan de fire operasjonene skjer
summen av to terninger
Summen av to terninger, det vil si a³ + b³, kan faktoriseres som:
a³ + b³ = (a + b) (a² – ab + b²)
Eksempel:
Faktor polynomet:
x³ + 8
Vi vet at 8 = 2³, så:
x³ + 8 = (x + 2) (x² - 2x + 2²)
x³ + 8 = (x + 2) (x² - 2x + 4)
Forskjellen på to kuber
Forskjellen på to terninger, det vil si a³ – b³, ikke ulikt summen av to kuber, kan faktoriseres som:
a³ – b³ = (a – b) (a² + ab + b²)
Eksempel:
Faktor ut polynomet
8x³ - 27
Vi vet det:
8x³ = (2x) ³
27 = 3³
Så vi må:
\(8x^3-27=\venstre (2x-3\høyre)\)
\(8x^3-27=\venstre (2x-3\høyre)\venstre (4x^2+6x+9\høyre)\)
Løste øvelser om faktorisering av polynomer
Spørsmål 1
Bruke polynomfaktorisering for å forenkle algebraisk uttrykk \(\frac{x^2+4x+4}{x^2-4},\), vil vi finne:
a) x + 2
B) x - 2
Ç) \(\frac{x-2}{x+2}\)
D) \(\frac{x+2}{x-2}\)
E) (x - 2) (x + 2)
Vedtak:
Alternativ D
Når vi ser på telleren, ser vi at x² + 4x + 4 er et tilfelle av et perfekt kvadratisk trinomium og kan omskrives som:
x² + 4x + 4 = (x + 2)²
Telleren x² – 4 er forskjellen mellom to kvadrater og kan skrives om som:
x² - 4 = (x + 2) (x - 2)
Derfor:
\(\frac{\venstre (x+2\høyre)^2}{\venstre (x+2\høyre)\venstre (x-2\høyre)}\)
Merk at begrepet x + 2 vises både i telleren og i nevneren, så forenklingen er gitt av:
\(\frac{x+2}{x-2}\)
spørsmål 2
(Unifil Institute) Tatt i betraktning at to tall, x og y, er slik at x + y = 9 og x² – y² = 27, er verdien av x lik:
a) 4
B) 5
C) 6
D) 7
Vedtak:
Alternativ C
Merk at x² – y² er forskjellen mellom to kvadrater og kan faktoriseres som produktet av summen og forskjellen:
x² – y² = (x + y) (x – y)
Vi vet at x + y = 9:
(x + y) (x - y) = 27
9 (x - y) = 27
x - y = 27:9
x - y = 3
Da kan vi sette opp en ligningssystem:
Legger til de to linjene:
2x + 0 y = 12
2x = 12
x = \(\frac{12}{2}\)
x = 6
Av Raul Rodrigues de Oliveira
Matte lærer
Kilde: Brasil skole - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/fatoracao-de-polinomio.htm
