Permutasjon er en tellingsteknikk som brukes til å bestemme hvor mange måter det er å bestille elementene i et endelig sett. Å gjøre en utveksling er å utføre en utveksling, og i kombinatoriske problemer betyr det å utveksle stedets elementer, vurderer deres bestilling.
Disse teknikkene er en del av et felt innen matematikk kalt kombinatorisk analyse, som tar sikte på å kjenne og telle de forskjellige måtene å organisere sett og deres elementer på. Enkel permutasjon og en med gjentatte elementer adresserer denne kategorien problemer.
enkel permutasjon
En enkel permutasjon er bestillingen av elementene i et endelig sett, når deres elementene ikke gjentas, er forskjellige. Den brukes til å bestemme mengden av disse sortene.
Mengden av permutasjoner av et sett med n elementer er lik n! (leser en faktor).
Formelen for å bestemme antall enkle permutasjoner er
Tenk på et sett med n elementer. For å organisere dem i kø, må vi velge den første, og for det har vi n muligheter. For å velge den andre har vi (n-1) muligheter, en mindre, fordi vi allerede brukte et alternativ når vi valgte den første. Denne prosessen fortsetter til bare ett element gjenstår.
For å bestemme det totale antallet permutasjoner multipliserer vi antall muligheter som finnes ved valg av hvert element. Og dermed:
Uttrykket ovenfor kalles factorial of n og vi bruker symbolet Nei!.
lære mer om fabrikk på her.
Eksempel:
De forskjellige måtene å organisere bokstavene i et ord kalles anagrammer på. Hvor mange anagrammer er det for ordet DUCK?
Dette er mulighetene:
Så da ordet PATO har 4 bokstaver, må vi
Så det er 24 enkle permutasjoner for ordet DUCK.
Enkle permutasjonsøvelser
Spørsmål 1
Beregn verdien av .
spørsmål 2
Tenk på en førstemann-til-mølla-kø med mennesker der det til enhver tid er seks personer. Hvor mange forskjellige måter kan disse menneskene bli rangert fra første til siste?
Hvert bestillingsskjema er en enkel permutasjon, siden enkeltpersoner er unike og ikke gjentar seg selv. Så, med seks personer, er svaret en permutasjon med 6 elementer.
spørsmål 3
Vurder ordet FORK og svar på følgende spørsmål?
a) Hvor mange er anagrammer for ordet FORK?
Siden bokstavene ikke blir gjentatt, er dette en enkel permutasjonssak med 5 elementer.
b) Hvor mange anagrammer begynner med bokstaven A?
I dette tilfellet fikser vi bokstaven A i begynnelsen og beregner permutasjonene med bokstavene GRFO, som er permutasjoner av 4 elementer.
1 mulighet for bokstaven A x .
c) Hvor mange anagrammer er det hvis vokalene alltid er ved siden av hverandre?
En mulighet vil være G R F A O.
Det er tre måter å bestille konsonantene på. P3 = 3 x 2 x 1 = 6
Det er to måter å bestille vokalene på. P2 = 2 x 1 = 2
Det er fortsatt to måter å organisere gruppene (konsonanter og vokaler) på. P2 = 2 x 1 = 2
Nå er det bare å multiplisere resultatene.
P3 x P2 x P2 = 6 x 2 x 2 = 24
Så det er 24 anagrammer der vokalene alltid er sammen.
Permutasjon med repetisjon
En permutasjon med gjentatte elementer skjer når noen av dem er like i et sett med n-elementer.
I formelen for å bestemme antall permutasjoner med repetisjon, deler vi det faktuelle av det totale antallet n av elementene med produktet av faktorene til de gjentatte elementene.
er antall permutasjoner av n elementer.
det er antall elementer av hver type som gjentas.
er faktoren for det totale antall elementer n.
Eksempler
La oss bestemme hvor mange permutasjoner det er for ordet EGG. For å gjøre det lettere, la oss farge bokstavene. La oss se på anagrammer av ordet EGG.
Antallet enkle permutasjoner med 3 elementer er gitt av
Noen permutasjoner gjentas imidlertid, og vi kan ikke telle dem to ganger. For dette må vi dele verdien av (fordi ordet har tre bokstaver), av
(fordi bokstaven O gjentas to ganger).
Dermed er antall permutasjoner for bokstavene i ordet OVO lik 3.
La oss se på dette andre eksemplet der vi vil definere antall permutasjoner for bokstavene i ordet BANANA.
Hvor:
betyr permutasjon med 6 elementer der bokstavene A og N gjentas.
3! for bokstaven A gjentar seg selv tre ganger.
2! for bokstaven N gjentas to ganger.
Et tips for å gjøre beregningen enklere er å utvikle 6! til du når 3!, forenkler med nevneren. Se utviklingen.
Dermed er antall permutasjoner for bokstavene i ordet BANANA lik 60.
Kanskje du er interessert i dette innholdet i kombinasjonsanalyse:
Kombinatorisk analyse
Øvelser på kombinatorisk analyse
