Kvadratisk funksjonsberegning

DE kvadratisk funksjon, også kalt 2. graders polynomfunksjon, er en funksjon representert av følgende uttrykk:

f (x) = øks² + bx + c

Hvor De, B og ç er reelle tall og De ≠ 0.

Eksempel:

f (x) = 2x²+ 3x + 5,

å være,

a = 2
b = 3
c = 5

I dette tilfellet er den kvadratiske funksjonen polynom av grad 2, da den er den største eksponenten av variabelen.

Hvordan løse en kvadratisk funksjon?

Sjekk ut steg for steg gjennom et eksempel på å løse den kvadratiske funksjonen:

Eksempel

Finn a, b og c i den kvadratiske funksjonen gitt av: f (x) = ax² + bx + c, blir:

f (-1) = 8
f (0) = 4
f (2) = 2

La oss først erstatte x av verdiene til hver funksjon, og dermed vil vi ha:

f (-1) = 8
til 1)² + b (–1) + c = 8
a - b + c = 8 (ligning I)

f (0) = 4
De. 0² + b. 0 + c = 4
c = 4 (ligning II)

f (2) = 2
De. 2² + b. 2 + c = 2
4a + 2b + c = 2 (ligning III)

Ved den andre funksjonen f (0) = 4 har vi allerede verdien c = 4.

Så la oss erstatte den oppnådde verdien for ç i ligning I og III for å bestemme de andre ukjente (De og B):

(Ligning I)

a - b + 4 = 8
a - b = 4
a = b + 4

instagram story viewer

Siden vi har ligningen av De ved ligning I, la oss erstatte i III for å bestemme verdien av B:

(Ligning III)

4a + 2b + 4 = 2
4a + 2b = - 2
4 (b + 4) + 2b = - 2
4b + 16 + 2b = - 2
6b = - 18
b = - 3

Til slutt, for å finne verdien av De vi erstatter verdiene til B og ç som allerede er funnet. Snart:

(Ligning I)

a - b + c = 8
a - (- 3) + 4 = 8
a = - 3 + 4
a = 1

Derfor er koeffisientene til den gitte kvadratiske funksjonen:

a = 1
b = - 3
c = 4

Funksjonsrøtter

Røttene eller nullene til andregradsfunksjonen representerer verdiene til x slik at f (x) = 0. Røttene til funksjonen bestemmes ved å løse andregradsligningen:

f (x) = øks² + bx + c = 0

For å løse 2. grads ligning kan vi bruke flere metoder, en av de mest brukte er å bruke Bhaskara formel, dvs:

Eksempel

Finn nollene til funksjonen f (x) = x² - 5x + 6.

Løsning:

Å være
a = 1
b = - 5
c = 6

Ved å erstatte disse verdiene i Bhaskaras formel har vi:

x er lik teller minus b pluss eller minus kvadratrot av b kvadrat minus 4 a c slutten av roten over nevneren 2 slutten av brøkdel er lik teller 5 pluss eller minus kvadratrot av 25 minus 24 rotens slutt over nevneren 2 slutten av brøkdel x med 1 tegning lik teller 5 pluss 1 over nevner 2 enden av brøkdel lik 6 over 2 lik 3 x med 2 tegning lik teller 5 minus 1 over nevner 2 slutt av brøk lik 4 over 2 er lik 2

Så røttene er 2 og 3.

Merk at antall røtter til en kvadratisk funksjon vil avhenge av verdien oppnådd av uttrykket: Δ = b² – 4. B.C, som kalles diskriminerende.

Og dermed,

hvis Δ > 0vil funksjonen ha to virkelige og tydelige røtter (x₁ ≠ x₂);
hvis Δ, funksjonen vil ikke ha en reell rot;
hvis Δ = 0vil funksjonen ha to reelle og like røtter (x₁ = x₂).

Kvadratisk funksjonsgraf

Grafen over 2. graders funksjoner er kurver som kalles paraboler. annerledes enn 1. grads funksjoner, der det å kjenne to punkter er det mulig å tegne grafen, i kvadratiske funksjoner er det nødvendig å kjenne til flere punkter.

Kurven til en kvadratisk funksjon kutter x-aksen ved funksjonens røtter eller nuller, maksimalt to punkter, avhengig av verdien av diskriminanten (Δ). Så vi har:

Hvis Δ> 0, vil grafen kutte x-aksen på to punkter;
Hvis Δ
Hvis Δ = 0, berører parabolen bare x-aksen på ett punkt.

Det er enda et poeng, kalt toppunktet på parabolen, som er maksimums- eller minimumsverdien til funksjonen. Dette punktet er funnet ved hjelp av følgende formel:

x med v-tegning lik teller minus b over nevner 2 til slutten av brøkrom og y-rom med v-skript lik teller minus økning over nevner 4 til slutt av brøk

Toppunktet vil representere funksjonens maksimale verdipunkt når parabolen vender nedover og minimumsverdien når den vender oppover.

Det er mulig å identifisere posisjonen til kurvenes konkavitet ved kun å analysere koeffisientens tegn De. Hvis koeffisienten er positiv, vil konkaviteten vende oppover, og hvis den er negativ, vil den være nedover, det vil si:

Så, for å tegne grafen til en 2. graders funksjon, kan vi analysere verdien av De, beregne funksjonens nuller, toppunktet og også punktet der kurven kutter y-aksen, det vil si når x = 0.

Fra de gitte ordnede parene (x, y) kan vi konstruere parabolen num Kartesisk fly, gjennom forbindelsen mellom de funnet punktene.

Inngangseksamen Øvelser med tilbakemelding

1. (Vunesp-SP) Alle mulige verdier av m som tilfredsstiller 2x ulikhet² - 20x - 2m> 0, for alle x som tilhører settet med reais, er gitt av:

a) m> 10
b) m> 25
c) m> 30
d) m e) m

Se Svar

Alternativ b) m> 25

2. (EU-CE) Grafen til den kvadratiske funksjonen f (x) = ax² + bx er en parabel med toppunktet (1, - 2). Antall elementer i settet x = {(- 2, 12), (–1,6), (3,8), (4, 16)} som tilhører grafen til denne funksjonen er:

til 1
b) 2
c) 3
d) 4

Se Svar

Alternativ b) 2

3. (Cefet-SP) Å vite at ligningene til et system er x. y = 50 og x + y = 15, de mulige verdiene for x og y de er:

a) {(5.15), (10.5)}
b) {(10.5), (10.5)}
c) {(5.10), (15.5)}
d) {(5.10), (5.10)}
e) {(5.10), (10.5)}

Se Svar

Alternativ e) {(5.10), (10.5)}

Les også: