Komplekse tall: definisjon, operasjoner og øvelser

protection click fraud

Komplekse tall er tall sammensatt av en reell og en imaginær del.

De representerer settet med alle ordnede par (x, y), hvis elementer tilhører settet med reelle tall (R).

Settet med komplekse tall er indikert med Ç og definert av operasjonene:

Likestilling: (a, b) = (c, d) ↔ a = c og b = d
Addisjon: (a, b) + (c, d) = (a + b + c + d)
Multiplikasjon: (a, b). (c, d) = (ac - bd, ad + bc)

Imaginary Unit (i)

Indikert av brevet Jeg, er den imaginære enheten det ordnede paret (0, 1). Snart:

Jeg. i = -1 ↔ i² = –1

Og dermed, Jeg er kvadratroten til –1.

Algebraisk form for Z

Den algebraiske formen av Z brukes til å representere et komplekst tall ved hjelp av formelen:

Z = x + yi

Hvor:

x er et reelt tall angitt med x = Re (Z), blir kalt ekte del av z.
y er et reelt tall angitt med y = Im (Z), blir kalt imaginær del av Z.

Kompleks nummerkonjugat

Konjugatet av et komplekst tall er angitt med z, definert av z = a - bi. Dermed byttes tegnet på den imaginære delen.

Så hvis z = a + bi, så z = a - bi

Når vi multipliserer et komplekst tall med konjugatet, blir resultatet et reelt tall.

instagram story viewer

Likhet mellom komplekse tall

Å være to komplekse tall Z₁= (a, b) og Z₂ = (c, d), de er like når a = c og b = d. Dette er fordi de har identiske virkelige og imaginære deler. Og dermed:

a + bi = c + di Når a = c og b = d

Operasjoner med komplekse tall

Med komplekse tall er det mulig å utføre tillegg, subtraksjon, multiplikasjon og divisjonsoperasjoner. Sjekk ut definisjonene og eksemplene nedenfor:

Addisjon

Z₁ + Z₂ = (a + c, b + d)

I algebraisk form har vi:

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + i (b + d)

Eksempel:

(2 + 3i) + (–4 + 5i)
(2-4) + i (3 + 5)
–2 + 8i

Subtraksjon

Z₁ - Z₂ = (a - c, b - d)

I algebraisk form har vi:

(a + bi) - (c + di) = (a - c) + i (b - d)

Eksempel:

(4 - 5i) - (2 + i)
(4 - 2) + i (–5 –1)
2 - 6i

Multiplikasjon

(a, b). (c, d) = (ac - bd, ad + bc)

I algebraisk form bruker vi fordelingsegenskapen:

(a + bi). (c + di) = ac + adi + bci + bdi² (Jeg² = –1)
(a + bi). (c + di) = ac + adi + bci - bd
(a + bi). (c + di) = (ac - bd) + i (ad + bc)

Eksempel:

(4 + 3i). (2 - 5i)
8 - 20i + 6i - 15i²
8 - 14i + 15
23 - 14i

Inndeling

Z₁/ Z₂ = Z₃
Z₁ = Z₂. Z₃

I ovennevnte likhet, hvis Z₃ = x + yi, vi har:

Z₁ = Z₂. Z₃

a + bi = (c + di). (x + yi)
a + bi = (cx - dy) + i (cy + dx)

Ved systemet med ukjente x og y har vi:

cx - dy = a
dx + cy = b

Snart,

x = ac + bd / c² + d²
y = bc - annonse / c² + d²

Eksempel:

2 - 5i / i
2 - 5i /. (- i) / (- i)
-2i + 5i²/–i²
5 - 2i

Inngangseksamen Øvelser med tilbakemelding

1. (UF-TO) Vurder Jeg den imaginære enheten av komplekse tall. Verdien uttrykket (i + 1)⁸ é:

a) 32i
b) 32
c) 16
d) 16i

Se Svar

Alternativ c: 16

2. (UEL-PR) Det komplekse tallet z som sjekker ligningen iz - 2w (1 + i) = 0 (w indikerer at konjugatet av z) er:

a) z = 1 + i
b) z = (1/3) - i
c) z = (1 - i) / 3
d) z = 1 + (i / 3)
e) z = 1 - i

Se Svar

Alternativ e: z = 1 - i

3. (Vunesp-SP) Tenk på det komplekse tallet z = cos π / 6 + i sin π / 6. verdien av z³ + Z⁶ + Z¹² é:

der
b) ½ + √3 / 2i
c) i - 2
d) i
e) 2i

Se Svar

Alternativ d: i

Sjekk ut flere spørsmål, med kommentert oppløsning, i Øvelser på komplekse tall.

Videoleksjoner

For å utvide din kunnskap om komplekse tall, se videoen "Introduksjon til komplekse tall"

Introduksjon til komplekse tall

Historie av komplekse tall

Oppdagelsen av komplekse tall ble gjort på 1500-tallet takket være bidrag fra matematikeren Girolamo Cardano (1501-1576).

Imidlertid var det først på 1700-tallet at disse studiene ble formalisert av matematikeren Carl Friedrich Gauss (1777-1855).

Dette var et stort skritt fremover i matematikk, ettersom et negativt tall har en kvadratrot, som frem til oppdagelsen av komplekse tall ble ansett som umulig.

For å lære mer, se også