Inverse Matrix Calculation: egenskaper og eksempler

Den omvendte matrisen eller den inverterbare matrisen er en type firkantet matrisedet vil si at den har samme antall rader (m) og kolonner (n).

Det oppstår når produktet av to matriser resulterer i en identitetsmatrise av samme ordre (samme antall rader og kolonner).

Dermed brukes multiplikasjon for å finne det inverse av en matrise.

DE. B = B. A = jeg_Nei (når matrise B er invers av matrise A)

Men hva er identitetsmatrisen?

DE Identitetsmatrise er definert når elementene i hoveddiagonalen er like 1 og de andre elementene er lik 0 (null). Det er indikert av jeg_Nei:

Inverse Matrix Properties

• Det er bare en invers for hver matrise.
• Ikke alle matriser har en invers matrise. Det er bare inverterbart når produktene fra firkantede matriser resulterer i en identitetsmatrise (I_Nei)
• Den inverse matrisen til en invers tilsvarer selve matrisen: A = (A^-1)^-1
• Matrisen transponert av en invers matrise er også invers: (A^t) ^-1 = (A^-1)^t
• Den inverse matrisen til en transponert matrise tilsvarer transponeringen av den inverse: (A^-1 DE^{t) -1}
• Den omvendte matrisen til en identitetsmatrise er lik identitetsmatrisen: I^-1 = Jeg

Se også: Matriser

Inverse Matrix Eksempler

2x2 omvendt matrise

3x3 invers matrise

Trinn for trinn: Hvordan beregne den omvendte matrisen?

Vi vet at hvis produktet av to matriser er lik identitetsmatrisen, har denne matrisen en invers.

Merk at hvis matrise A er den omvendte av matrise B, brukes notasjonen: A^-1.

Eksempel: Finn det inverse av matrisen under 3x3 rekkefølge.

Først og fremst må vi huske at A. DE^-1 = I (Matrisen multiplisert med dens inverse vil resultere i identitetsmatrisen I_Nei).

Hvert element i den første raden i den første matrisen multipliseres med hver kolonne i den andre matrisen.

Derfor multipliseres elementene i den andre raden i den første matrisen med kolonnene i den andre.

Og til slutt, den tredje raden av den første med kolonnene i den andre:

Ved å matche elementene med identitetsmatrisen kan vi oppdage verdiene til:

a = 1
b = 0
c = 0

Når vi kjenner disse verdiene, kan vi beregne de andre ukjente i matrisen. I tredje rad og første kolonne i den første matrisen har vi en + 2d = 0. Så la oss starte med å finne verdien av d, ved å erstatte verdiene som ble funnet:

1 + 2d = 0
2d = -1
d = -1/2

På samme måte kan vi i tredje rad og andre kolonne finne verdien av og:

b + 2e = 0
0 + 2e = 0
2e = 0
e = 0/2
e = 0

Fortsetter har vi i tredje linje i tredje kolonne: c + 2f. Merk at den andre identitetsmatrisen til denne ligningen ikke er lik null, men lik 1.

c + 2f = 1
0 + 2f = 1
2f = 1
f = ½

Når vi går til andre rad og første kolonne, finner vi verdien av g:

a + 3d + g = 0
1 + 3. (-1/2) + g = 0
1 - 3/2 + g = 0
g = -1 + 3/2
g = ½

I andre rad og andre kolonne kan vi finne verdien av H:

b + 3e + h = 1
0 + 3. 0 + h = 1
h = 1

Til slutt, la oss finne verdien av Jeg ved ligningen til andre rad og tredje kolonne:

c + 3f + i = 0
0 + 3 (1/2) + i = 0
3/2 + i = 0
i = 3/2

Etter å ha oppdaget alle de ukjente verdiene, kan vi finne alle elementene som utgjør den omvendte matrisen til A:

Inngangseksamen Øvelser med tilbakemelding

1. (Cefet-MG) Matrisen er invers av
Det kan sies riktig at forskjellen (x-y) er lik:

a) -8
b) -2
c) 2
d) 6
e) 8

Se Svar

Alternativ e: 8

2. (UF Viçosa-MG) La matrisene være:

Der x og y er reelle tall og M er den omvendte matrisen til A. Så xy-produktet er:

a) 3/2
b) 2/3
c) 1/2
d) 3/4
e) 1/4

Se Svar

Alternativ til: 3/2

3. (PUC-MG) Den omvendte matrisen til matrisen det er det samme som:

De)
B)
ç)
d)
og)

Se Svar

Alternativ b:

Les også:

• Matriser - Øvelser
• Matriser og determinanter
• Typer matriser
• Transponert matrise
• Matriksmultiplikasjon