DE sannsynlighetsteori er grenen av matematikk som studerer eksperimenter eller tilfeldige fenomener, og gjennom det er det mulig å analysere sjansene for at en bestemt hendelse skal inntreffe.
Når vi beregner sannsynligheten, knytter vi en viss tillit til at mulige resultater av eksperimenter vil oppstå, hvis resultater ikke kan bestemmes på forhånd.
På denne måten knytter sannsynlighetsberegningen forekomsten av et resultat til en verdi som varierer fra 0 til 1, og jo nærmere resultatet er 1, desto større er sikkerheten på forekomsten.
For eksempel kan vi beregne sannsynligheten for at en person vil kjøpe en vinnende lodd eller vite oddsen for at et par får 5 barn, alle gutter.
tilfeldig eksperiment
Et tilfeldig eksperiment er et som ikke kan forutsi hvilket resultat som blir funnet før det gjennomføres.
Hendelser av denne typen, når de gjentas under samme forhold, kan gi forskjellige resultater, og denne uoverensstemmelsen tilskrives tilfeldigheter.
Et eksempel på et tilfeldig eksperiment er å rulle en upartisk dyse (dyse som har en homogen massefordeling) oppover. Når du faller, er det ikke mulig å forutsi med sikkerhet hvilken av de 6 ansiktene som vender oppover.
Sannsynlighetsformel
I et tilfeldig fenomen er sjansene for en hendelse like sannsynlige.
Dermed kan vi finne sannsynligheten for at et gitt resultat oppstår ved å dele antall gunstige hendelser og det totale antallet mulige utfall:
Å være:
p (A): sannsynlighet for forekomst av en hendelse A
på): antall saker som interesserer oss (begivenhet A)
n (Ω): totalt antall mulige saker
Eksempler
1) Hvis vi ruller en perfekt form, hva er sannsynligheten for at et tall mindre enn 3 vil rulle?
Løsning
Som den perfekte døden har alle de seks ansiktene like sjanse for å falle med forsiden opp. Så la oss bruke sannsynlighetsformelen.
For dette må vi vurdere at vi har 6 mulige tilfeller (1, 2, 3, 4, 5, 6) og at hendelsen "ut av et tall mindre enn 3" har to muligheter, det vil si ut av tallet 1 eller tallet 2. Så vi har:
2) Kortstokken består av 52 kort delt inn i fire drakter (hjerter, klubber, diamanter og spar) med 13 kort i hver farge. Så hvis du trekker et kort tilfeldig, hva er sannsynligheten for at et kort kommer ut av klubbdrakten?
Løsning
Når vi trekker et kort tilfeldig, kan vi ikke forutsi hva dette kortet vil være. Så dette er et tilfeldig eksperiment.
I dette tilfellet tilsvarer antall kort antall mulige tilfeller, og vi har 13 klubber som representerer antall gunstige arrangementer.
Ved å erstatte disse verdiene i sannsynlighetsformelen har vi:
Prøveplass
representert ved brevet Ωtilsvarer prøveområdet settet med mulige resultater oppnådd fra et tilfeldig eksperiment.
For eksempel når du tilfeldig tar et kort fra en kortstokk, tilsvarer prøveområdet de 52 kortene som utgjør denne kortstokken.
På samme måte er prøveområdet, når du ruller en dyse en gang, de seks ansiktene som komponerer det:
Ω = {1, 2, 3, 4, 5 og 6}.
Typer av arrangementer
Arrangementet er en hvilken som helst delmengde av prøveområdet til et tilfeldig eksperiment.
Når en hendelse er nøyaktig den samme som prøveområdet, kalles den a riktig begivenhet. Omvendt, når hendelsen er tom, kalles den a umulig hendelse.
Eksempel
Tenk deg at vi har en boks med kuler nummerert fra 1 til 20 og at alle ballene er røde.
"Tegn en rød ball" -begivenhet er en sikker begivenhet, ettersom alle ballene i boksen har denne fargen. Hendelsen "tegn et tall større enn 30" er umulig, siden det høyeste tallet i boksen er 20.
Kombinatorisk analyse
I mange situasjoner er det mulig å oppdage antall mulige og gunstige hendelser direkte i et tilfeldig eksperiment.
I noen problemer må du imidlertid beregne disse verdiene. I dette tilfellet kan vi bruke permutasjons-, arrangement- og kombinasjonsformlene i henhold til situasjonen som er foreslått i spørsmålet.
For å lære mer om emnet, gå til:
- Kombinatorisk analyse
- Kombinasjonsanalyseøvelser
- Grunnleggende prinsipp for telling
- Permutasjon
Eksempel
(EsPCEx - 2012) Sannsynligheten for å oppnå et tall som kan deles med 2 i tilfeldig valg av en av permutasjonene til sifrene 1, 2, 3, 4, 5 er
Løsning
I dette tilfellet må vi finne ut antall mulige hendelser, det vil si hvor mange forskjellige tall vi får ved å endre rekkefølgen på de gitte 5 sifrene (n = 5).
Ettersom, i dette tilfellet, rekkefølgen på sifrene danner forskjellige tall, vil vi bruke permutasjonsformelen. Derfor har vi:
Mulige hendelser:
Derfor, med 5 sifre, kan vi finne 120 forskjellige tall.
For å beregne sannsynligheten, må vi fremdeles finne antall gunstige hendelser som i dette tilfellet er å finne et tall som kan deles med 2, som vil skje når siste siffer i tallet er 2 eller 4.
Med tanke på at vi for den siste posisjonen bare har disse to mulighetene, så må vi bytte de andre 4 posisjonene som utgjør tallet, slik:
Gunstige arrangementer:
Sannsynligheten vil bli funnet ved å gjøre:
Les også:
- Pascals trekant
- Komplekse tall
- Matematikk i Enem
Trening løst
1) PUC / RJ - 2013
Hvis a = 2n + 1 med n ∈ {1, 2, 3, 4}, så er sannsynligheten for tallet De å være et par er
til 1
b) 0,2
c) 0,5
d) 0,8
e) 0
Når vi erstatter hver mulige verdi av n i uttrykket for tallet a, merker vi at resultatet alltid vil være et oddetall.
Derfor er "å være et partall" en umulig hendelse. I dette tilfellet er sannsynligheten lik null.
Alternativ: e) 0
2) UPE - 2013
I en gruppe på et spansk kurs har tre personer tenkt å gjøre et utvekslingsprogram i Chile, og syv i Spania. Blant disse ti personene ble to valgt til intervjuet som skal trekke stipend for studie i utlandet. Sannsynligheten for at disse to utvalgte menneskene tilhører gruppen av de som har tenkt å utveksle i Chile er
La oss først finne antall mulige situasjoner. Ettersom valget av de to personene ikke avhenger av rekkefølgen, vil vi bruke kombinasjonsformelen for å bestemme antall mulige tilfeller, dvs.
Så det er 45 måter å velge 2 personer ut av en gruppe på 10 personer.
Nå må vi beregne antall gunstige hendelser, det vil si at de to personene som er trukket vil gjøre utvekslingen i Chile. Igjen vil vi bruke kombinasjonsformelen:
Så det er 3 måter å velge 2 personer av de 3 som ønsker å studere i Chile.
Med de funnet verdiene kan vi beregne den etterspurte sannsynligheten og erstatte den i formelen:
Alternativ: b)
Les mer om noen relaterte emner:
- Newtons binomial
- Sannsynlighetsøvelser (lett)
- Sannsynlighetsøvelser
- Statistikk
- Statistikk - Øvelser
- Matematikkformler
