Polynomer er algebraiske uttrykk dannet av tall (koeffisienter) og bokstaver (bokstavelige deler). Bokstavene til et polynom representerer de ukjente verdiene til uttrykket.
Eksempler
a) 3ab + 5
b) x3 + 4xy - 2x2y3
c) 25x2 - 9 år2
Monomium, Binomial og Trinomial
Polynomier består av vilkår. Den eneste operasjonen mellom elementene i et begrep er multiplikasjon.
Når et polynom bare har ett begrep, kalles det a monomial.
Eksempler
a) 3x
b) 5bc
c) x2y3z4
samtalene binomaler er polynomer som bare har to monomer (to termer), atskilt med en addisjon eller subtraksjon.
Eksempler
a) til2 - B2
b) 3x + y
c) 5ab + 3cd2
allerede den trinomials er polynomer som har tre monomer (tre termer), atskilt med addisjon eller subtraksjon.
Eksempels
a) x2 + 3x + 7
b) 3ab - 4xy - 10y
c) m3n + m2 + n4
Grad av polynomer
Graden av et polynom er gitt av eksponentene for den bokstavelige delen.
For å finne graden av et polynom må vi legge til eksponentene for bokstavene som utgjør hvert begrep. Den største summen vil være graden av polynomet.
Eksempler
a) 2x3 + y
Eksponenten for første periode er 3 og den andre perioden er 1. Siden den største er 3, er graden av polynomet 3.
b) 4x2y + 8x3y3 - xy4
La oss legge til eksponentene for hvert begrep:
4x2y => 2 + 1 = 3
8x3y3 => 3 + 3 = 6
xy4 => 1 + 4 = 5
Siden den største summen er 6, er graden av polynomet 6
Merk: nullpolynomet er en som har alle koeffisienter lik null. Når dette skjer, er graden av polynom ikke definert.
Operasjoner med polynomer
Se eksempler nedenfor for operasjoner mellom polynomer:
Legge til polynomer
Vi gjør denne operasjonen ved å legge til koeffisientene til lignende begreper (samme bokstavlige del).
(-7x3 + 5x2y - xy + 4y) + (-2x2y + 8xy - 7y)
- 7x3 + 5x2y - 2x2y - xy + 8xy + 4y - 7y
- 7x3 + 3x2y + 7xy - 3y
Polynomial subtraksjon
Minustegnet foran parentesene snur skiltene inne i parentesen. Etter at parentesene er fjernet, må vi legge til lignende termer.
(4x2 - 5xk + 6k) - (3x - 8k)
4x2 - 5xk + 6k - 3xk + 8k
4x2 - 8xk + 14k
Multiplikasjon av polynomer
I multiplikasjon må vi multiplisere ord for ord. Ved multiplikasjon av like store bokstaver gjentas eksponentene og legges til.
(3x2 - 5x + 8). (-2x + 1)
-6x3 + 3x2 + 10x2 - 5x - 16x + 8
-6x3 + 13x2 - 21x +8
Divisjon av polynomer
Merk: I polynomdeling bruker vi nøkkelmetoden. Først utfører vi inndelingen mellom de numeriske koeffisientene og deretter fordelingen av krefter for den samme basen. For å gjøre dette, hold basen og trekk eksponentene.
Polynomfaktoring
Å gjennomføre faktorisering av polynomer har vi følgende tilfeller:
Vanlig bevisfaktor
ax + bx = x (a + b)
Eksempel
4x + 20 = 4 (x + 5)
gruppering
ax + bx + ay + by = x. (a + b) + y. (a + b) = (x + y). (a + b)
Eksempel
8ax + bx + 8ay + by = x (8a + b) + y (8a + b) = (8a + b). (x + y)
Perfect Square Trinomial (tillegg)
De2 + 2ab + b2 = (a + b)2
Eksempel
x2 + 6x + 9 = (x + 3)2
Perfect Square Trinomial (forskjell)
De2 - 2ab + b2 = (a - b)2
Eksempel
x2 - 2x + 1 = (x - 1)2
Forskjell på to firkanter
(a + b). (a - b) = a2 - B2
Eksempel
x2 - 25 = (x + 5). (x - 5)
Perfect Cube (Addition)
De3 + 3.2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3
Eksempel
x3 + 6x2 + 12x + 8 = x3 + 3. x2. 2 + 3. x. 22 + 23 = (x + 2)3
Perfekt kube (forskjell)
De3 - 3.2b + 3ab2 - B3 = (a - b)3
Eksempel
y3 - 9 år2 + 27y - 27 = y3 - 3. y2. 3 + 3. y. 32 - 33 = (y - 3)3
Les også:
- Bemerkelsesverdige produkter
- Bemerkelsesverdige produkter - Øvelser
- Polynomial funksjon
Løste øvelser
1) Klassifiser følgende polynomer i monomaler, binomaler og trinomier:
a) 3abcd2
b) 3a + bc - d2
c) 3ab - cd2
a) monomium
b) trinomial
c) binomial
2) Angi graden av polynomer:
a) xy3 + 8xy + x2y
b) 2x4 + 3
c) ab + 2b + a
d) zk7 - 10z2k3w6 + 2x
a) klasse 4
b) klasse 4
c) klasse 2
d) klasse 11
3) Hva er omkretsverdien til figuren nedenfor:
Figurens omkrets er funnet ved å legge til alle sider.
2x3 + 4 + 2x3 + 4 + x3 + 1 + x3 + 1 + x3 + 1 + x3 + 1 = 8x3 + 12
4) Finn området på figuren:
Arealet til rektangelet blir funnet ved å multiplisere basen med høyden.
(2x + 3). (x + 1) = 2x2 + 5x + 3
5) Faktor polynomene
a) 8ab + 2a2b - 4b2
b) 25 + 10 år + år2
c) 9 - k2
a) Siden det er vanlige faktorer, kan du faktorisere ved å sette disse faktorene som bevis: 2ab (4 + a - 2b)
b) Perfekt kvadratisk trinomial: (5 + y)2
c) To kvadratdifferanse: (3 + k). (3 - k)
Se også: Algebraiske uttrykk og Øvelser på algebraiske uttrykk
