Steg-for-trinn-konstruksjon av grafen til andregradsfunksjonen

På barneskolen, funksjoner er matematiske formler som forbinder hvert tall i et numerisk sett (domenet) med et enkelt tall som tilhører et annet sett (motdomenet). Når denne formelen er en andregrads ligning, vi har en videregående funksjon.

Funksjoner kan representeres av geometriske figurer hvis definisjoner sammenfaller med deres matematiske formler. Dette er tilfelle med den rette linjen, som representerer funksjoner i første grad, og lignelse, som representerer funksjoner i andre grad. Disse geometriske figurene kalles grafikk.

Den sentrale ideen om funksjonsrepresentasjon ved hjelp av en graf

Til tegne en funksjon, er det nødvendig å evaluere hvilket element i motdomenet som er relatert til hvert element i domenet og merke dem, en etter en, i et kartesisk plan. Når alle disse poengene er scoret, blir resultatet bare grafen til en funksjon.

Det er bemerkelsesverdig at videregående funksjoner, defineres vanligvis i et domene som er lik hele settet med reelle tall. Dette settet er uendelig, og det er derfor umulig å merke alle punktene på et kartesisk plan. Dermed er alternativet å tegne en graf som delvis kan representere den evaluerte funksjonen.

Først av alt, husk at andregradsfunksjoner har følgende form:

y = øks² + bx + c

Derfor presenterer vi fem trinn som gjør det mulig å bygge en annengrads funksjonsgraf, akkurat som de som kreves i videregående skole.

Trinn 1 - Samlet stillingsvurdering

Det er noen indikatorer som hjelper deg med å finne ut om riktig vei blir tatt når du bygger videregående funksjonsgraf.

I - Koeffisienten "a" til a videregående funksjon indikerer dens konkavitet, det vil si hvis a> 0, vil parabolen være oppover og ha et minimumspunkt. Hvis en <0, vil parabolen være nede og ha et maksimalt poeng.

II) Det første punktet A i graf av en lignelse det kan enkelt oppnås bare ved å se på verdien av koeffisienten “c”. Dermed er A = (0, c). Dette skjer når x = 0. Se:

y = øks² + bx + c

y = a · 0² + b · 0 + c

y = c

Trinn 2 - Finn toppunktkoordinatene

toppen av en lignelse er maksimum (hvis et <0) eller minimum (hvis et> 0) punkt. Det kan bli funnet ved å erstatte verdiene til koeffisientene “a”, “b” og “c” i formlene:

x_v = - B
2. plass

y_v = –∆
4. plass

Dermed blir toppunktet V gitt av de numeriske verdiene på x_v og y_v og det kan skrives slik: V = (x_vyy_v).

Trinn 3 - Tilfeldige punkter på grafen

Det er alltid bra å indikere noen tilfeldige punkter hvis verdier tilordnet variabelen x er større og mindre enn x_v. Dette vil gi deg poeng før og etter toppunktet og vil gjøre det lettere å tegne grafen.

Trinn 4 - Bestem røttene hvis mulig

Når de eksisterer, kan (og bør) røttene inngå i utformingen av graf over en funksjon av andre grad. For å finne dem, sett y = 0 for å få en kvadratisk ligning som kan løses med Bhaskaras formel. Husk at løse en kvadratisk ligning er det samme som å finne røttene.

Ikke stopp nå... Det er mer etter annonseringen;)

DE Bhaskara formel det avhenger av formelen til den diskriminerende. Er de:

x = - b ± √∆
2. plass

∆ = b² - 4ac

Trinn 5 - Merk alle poengene som er oppnådd på det kartesiske planet, og knytt dem sammen for å bygge en parabel

Husk at det kartesiske planet består av to vinkelrette tallinjer. Dette betyr at, i tillegg til å inneholde alle reelle tall, danner disse linjene en vinkel på 90 °.

Eksempel på kartesisk plan og eksempel på en lignelse.

Eksempel

Plott andregradsfunksjonen y = 2x² - 6x.

Løsning: Merk at koeffisientene til denne parabolen er a = 2, b = - 6 og c = 0. På denne måten, av trinn 1, kan vi si at:

1 - Parabolen vil være oppe, som 2 = a> 0.

2 - Et av punktene i denne lignelsen, representert med bokstaven A, er gitt av koeffisienten c. Snart, A = (0,0).

ved trinn 2, observerer vi at toppunktet til denne parabolen er:

x_v = - B
2. plass

x_v = – (– 6)
2·2

x_v = 6
4

x_v = 1,5

y_v = – ∆
4. plass

y_v = – (B² - 4 · a · c)
4. plass

y_v = – ((– 6)² – 4·2·0)
4·2

y_v = – (36)
8

y_v = – 36
8

y_v = – 4,5

Derfor er toppunktkoordinatene: V = (1,5, - 4,5)

Bruker trinn 3, vil vi bare velge to verdier for variabelen x, en større og en mindre enn x_v.

Hvis x = 1,

y = 2x² - 6x

y = 2 · 1² – 6·1

y = 2 · 1 - 6

y = 2 - 6

y = - 4

Hvis x = 2,

y = 2x² - 6x

y = 2 · 2² – 6·2

y = 2 · 4 - 12

y = 8-12

y = - 4

Derfor er de to poengene som er oppnådd B = (1, - 4) og C = (2, - 4)

Pels trinn 4, som ikke trenger å gjøres hvis funksjonen ikke har røtter, får vi følgende resultater:

∆ = b² - 4ac

∆ = (– 6)² – 4·2·0

∆ = (– 6)²

∆ = 36

x = - b ± √∆
2. plass

x = – (– 6) ± √36
2·2

x = 6 ± 6
4

x '= 12
4

x '= 3

x '' = 6 – 6
4

x '' = 0

Derfor er poengene oppnådd gjennom røttene, med tanke på at for å oppnå x = 0 og x = 3, var det nødvendig å sette y = 0: A = (0, 0) og D = (3, 0).

Med det får vi seks poeng for å tegne grafen til funksjonen y = 2x² - 6x. Nå er det bare å oppfylle trinn 5 å definitivt bygge den.

Av Luiz Paulo Moreira
Uteksamen i matematikk