Logaritme er et veldig viktig verktøy ikke bare for området matte, ettersom den har anvendelse innen flere vitenskapsfelt, som geografi, kjemi og databehandling.
Historisk logaritmen oppstår for å legge til rette for kontoer som dukket opp ofte i flere vitenskapelige områder. John Napier var banebrytende for studiet av logaritmer, og var i stand til å utvikle operasjonen som var i stand til å transformere Produkter i sum, inndelinger i subtraksjoner og styrker i multiplikasjoner.
Definere denne operasjonen over tid formaliserte andre matematikere definisjoner og egenskaper, i tillegg den velkjente loggbord.
Definisjon av logaritmen
Skisse grafen til logaritmefunksjonen (høyre) og dens eksponensielle inverse (venstre).
vurdere to reelle tall positivt De og B, med til ≠ 0. logaritmen til B på basen De er tallet x hvis og bare hvis, De hevet til x er lik tallet B.
Nomenklatur:
→ basen
b → logaritme
x → logaritme
Se eksemplene:
Når en logaritme har en base lik 10, kalles den desimal logaritme. Når du registrerer en desimallogg, er det ikke nødvendig å skrive base 10. Det er enighet om at:
Les også: Desimal logaritmesystem
Ikke stopp nå... Det er mer etter annonseringen;)
Hvordan beregne en logaritme?
For å beregne en logaritme, må vi se etter en nummer som når vi hever basen, resulterer i logaritmen. Tar vi som et eksempel logaritmen til 36 i base 6 i forrige eksempel, bør vi finne et tall som, når vi hever base 6, resulterer i 36. som 62 = 36, med svar 2. La oss se på flere eksempler:
1) Logg 1000. For å beregne denne logaritmen, må vi finne et tall som, hevet til 10, er lik 1000, det vil si 10x = 1000.
Å løse den eksponensielle ligningen har vi:
10x=1000
10x = 103
x = 3
Derfor,
1. Beregn logaritmen:
Vi må finne et tall som til roten av 7 er lik en førti-nittedel. Å løse ligningen har vi:
Les mer: Eksponensiell ligning - ligning med ukjent i eksponent
Logaritme eksistensbetingelse
Tenk på følgende logaritme:
Uttrykket er bare definert for når basen er større enn null og forskjellig fra en, og når basen er større enn null, det vil si:
a> 0 og a ≠ 0
b> 0
Eierskap til logaritmer
Se de viktigste nedenfor. egenskaper av logaritmer. Alle logaritmer som er sitert her, tilfredsstiller eksistensbetingelsen.
Eiendom 1
Logaritmen til produktet av to faktorer er lik summen av logaritmene til disse faktorene.
Eiendom 2
Logaritmen til kvotienten mellom to tall er lik forskjellen på logaritmene til disse tallene.
Eiendom 3
Logaritmen til en kraft er lik å multiplisere eksponenten for den kraften med logaritmen til kraftens base, der vi beholder basen til logaritmen.
Eiendom 4
Logaritmen til en rot er lik den omvendte av rotens indeks multiplisert med logaritmen, der vi også holder basen.
Eiendom 5
Logaritmen til et tall, i en base hevet til en kraft, er lik multiplikasjonen av det inverse av eksponenten til den basen.
Vite mer: Søknader omogaritmer: se eksempler
løste øvelser
Spørsmål 1 - (Fuvest - SP) Hvis x5 = 1000 og b3 = 100, så logaritmen til x på base b er:
A) 0,5
B) 0,9
C) 1.2
D) 1.5
E) 2.0
Løsning
Siden tallene 1000 og 100 kan skrives i base 10, har vi:
Ved å erstatte logaritmen til x i base b og bruke definisjonen, har vi:
spørsmål 2 - (Enem) Hydrogenpotensialet (pH) til en løsning er definert som indeksen som indikerer surhet, nøytralitet eller alkalinitet. Det er funnet som følger:
å være H+ konsentrasjonen av hydrogenioner i den løsningen. PH i en løsning, hvor H+ = 1,0 ·10-9, é:
Løsning:
Bytte ut H-verdien+ i pH-formelen har vi:
Av L.do Robson Luiz
Matematikklærer
