O Pascals trekant det er et ganske gammelt matteverktøy. Gjennom historien har den fått flere navn, men de mest adopterte i dag er aritmetisk trekant og Pascals trekant. Det andre navnet er en hyllest til matematikeren som ga flere bidrag til studiet av denne trekanten. betyr at trekanten ble oppfunnet av ham, men det var han som gjorde en dypere studie av dette verktøy.
Fra egenskapene til Pascals trekant er det mulig å konstruere den logisk. Skiller seg også ut din forhold med kombinasjoner studert i kombinatorisk analyse. Betegnelsene i Pascals trekant tilsvarer også binomiale koeffisienter, og det er derfor veldig nyttig for å beregne hvilken som helst Newton binomial.
Les også: Briot-Ruffini-enhet - metode for å dele polynomer
Konstruksjon av Pascals trekant
Pascals trekant er produsert fra resultatet av kombinasjonenemen det er en praktisk metode som letter måten å bygge den på. Den første raden og den første kolonnen telles som rad null og kolonne null. Vi kan bruke så mange linjer som nødvendig
i denne konstruksjonen kan derfor trekanten ha uendelige linjer. Begrunnelsen for utarbeidelsen av linjene er alltid den samme. Se:
Vi vet det trekanttermer er kombinasjoner, studerte i kombinatorisk analyse. For å erstatte Pascals trekant med numeriske verdier, vet vi at kombinasjonene av et tall med null og et tall med seg selv alltid er lik 1. Derfor er den første og siste verdien alltid 1.
For å finne de andre begynner vi med linje 2, siden linje 0 og linje 1 allerede er fullført. I linje 2, for å finne kombinasjonen av 2 til 1, i linjen over, det vil si i linje 1, la oss legge til ordet over det i samme kolonne og begrepet over det i forrige kolonne, som vist på bildet :
Etter å ha bygd linje 2 er det mulig å bygge linje 3 som utfører samme prosedyre.
Ved å fortsette denne prosedyren vil vi finne alle vilkårene - i dette tilfellet opp til linje 5 - men det er mulig å bygge så mange linjer som nødvendig.
Egenskaper til Pascals trekant
Det er noen egenskapene til Pascals trekant, på grunn av regelmessigheten i konstruksjonen. Disse egenskapene er nyttige for å jobbe med kombinasjoner, konstruksjonen av selve trekanten og summen av linjer, kolonner og diagonaler.
1. eiendom
Den første eiendommen var den vi brukte til å bygge trekanten. Så til finn et begrep i Pascals trekant, bare legg til begrepet som er i raden over det, og den samme kolonnen med begrepet som er i kolonnen og raden før den. Denne eiendommen kan vises som følger:
Denne eiendommen er kjent som Stifels forhold og det er viktig å legge til rette for konstruksjonen av trekanten og finne verdiene til hver av linjene.
Ikke stopp nå... Det er mer etter annonseringen;)
2. eiendom
Summen av alle vilkårene på rad beregnes av:
sNei=2Nei, på hva Nei er linjenummeret.
Eksempler:
Med denne egenskapen er det mulig å vite summen av alle vilkår på en linje uten nødvendigvis å måtte konstruere Pascals trekant. Summen av linje 10 kan for eksempel beregnes med 210 = 1024. Selv om ikke alle begrepene er kjent, er det allerede mulig å kjenne sumverdien av hele linjen.
3. eiendom
Summen av termer som sekvenserer fra begynnelsen av en gitt kolonne P opp til en bestemt linje Nei er det samme som begrepet på linjen n +1 rygg og kolonne p +1 senere, som vist nedenfor:
4. eiendom
Summen av en diagonal som starter i kolonne 0 og går til begrepet i kolonne p og rad n er lik begrepet i samme kolonne (p), men i raden nedenfor (n + 1), som vist på bildet :
5. eiendom
Det er symmetri i linjene til Pascals trekant. Den første og andre sikt er like, den andre og nest siste sikt er like, og så videre.
Eksempel:
Linje 6: 1615 20 156 1.
Merk at vilkårene er like to til to, bortsett fra den sentrale termen.
Se også: Polynomisk divisjon: hvordan løse det?
Newtons binomial
Vi definerer Newtons binomial a kraften til en polynom som har to termer. Beregningen av et binomium er relatert til Pascal-trekanten, som blir en mekanisme for å beregne det vi kaller binomialkoeffisienter. For å beregne et binomium bruker vi følgende formel:
Merk at eksponentverdien til De den avtar til den i siste periode er lik De0. Vi vet at hvert tall som er hevet til 0 er lik 1, så begrepet De vises ikke i siste periode. Vær også oppmerksom på at eksponenten av B begynner med B0, snart B vises ikke i første periode og øker til den når BNei, i siste periode.
Videre er antallet som følger med hvert av begrepene det vi kaller en koeffisient - i dette tilfellet kjent som en binomial koeffisient. For å bedre forstå hvordan du løser denne typen binomial, kan du få tilgang til teksten vår: Newtons binomial.
binomial koeffisient
Binomialkoeffisienten er ikke noe mer enn kombinasjonen, som kan beregnes ved hjelp av formelen:
For å lette beregningen av Newtons binomial er det imidlertid viktig å bruke Pascal-trekanten, siden det gir oss resultatet av kombinasjonen raskere.
Eksempel:
For å finne resultatet av binomialkoeffisienten, la oss finne verdiene til rad 5 i Pascals trekant, som er {1,5,10,10,5,1}.
(x + y)5= 1x5+ 5x4y + 10x3y2+ 10x2y3 + 5xy4+ 1 år5
For å si det enkelt:
(x + y)5= x5+ 5x4y + 10x3y2+ 10x2y3 + 5xy4+ y5
løste øvelser
Spørsmål 1 - Verdien av uttrykket nedenfor er?
A) 8
B) 16
C) 2
D) 32
E) 24
Vedtak
Alternativ A.
Ved å omgruppere de positive og negative verdiene, må vi:
Merk at vi faktisk beregner subtraksjonen mellom linje 4 og linje 3 i Pascals trekant. Etter eiendom, vet vi at:
s4 = 24 = 16
s3= 23 = 8
16 – 8 = 8.
Spørsmål 2 - Hva er verdien av uttrykket nedenfor?
A) 32
B) 28
C) 256
D) 24
E) 54
Vedtak
Alternativ B.
Merk at vi legger til vilkårene fra kolonne 1 i Pascals trekant til rad 7, deretter til den tredje eiendom, er verdien av denne summen lik betegnelsen som opptar rad 7 + 1 og kolonne 1 + 1, det vil si rad 8, kolonne 2. Siden vi bare vil ha en verdi, er det ikke praktisk å konstruere hele Pascal-trekanten.
Av Raul Rodrigues de Oliveira
Matematikklærer
