DE genererer brøk og fraksjonell representasjon av en periodisk tiende. Denne representasjonen er en viktig strategi for å løse problemer om grunnleggende matematikkoperasjoner som involverer periodiske desimaler. For å finne det, kan vi bruke ligningsteknikker så vel som en praktisk metode.
Les også: Hvordan løse operasjoner med brøkdel?
Hva er en periodisk tiende?
Før du forstår hva en generatriksfraksjon er, er det viktig å forstå hva en periodisk desimal er. Det er to mulige tilfeller av periodiske tiende: enkel periodisk desimal og sammensatt periodisk desimal. En periodisk tiende er en desimaltall som har uendelig og periodisk desimaldel.
enkel periodisk tiende
Den enkle periodiske desimalen består av et heltall og en desimaldel. DE desimal del er gjentakelsen av mensen, som vist i eksemplene nedenfor.
Eksempler:
a) 1.2222 ...
hele delen → 1
desimal del → 0,2222…
Tidsforløpet → 2
b) 3.252525 ...
hele delen → 3
desimal del → 0,252525…
Tidsforløpet → 25
c) 0.8888 ...
hele delen → 0
desimal del → 0,8888
Tidsforløpet → 8
Ikke stopp nå... Det er mer etter annonseringen;)
sammensatt periodisk tiende
En sammensatt periodisk desimal er en desimal som har et helt tall, en desimal del, og, i sin desimaldel, en ikke-periodisk del - kjent som antiperiod - og perioden.
Eksempler:
a) 2.0666 ...
hele delen → 2
desimal del→ 0,0666…
Antiperiod → 0
Tidsforløpet → 6
b) 13.518888 ...
hele delen → 13
desimal del → 0,51888…
Antiperiod → 51
Tidsforløpet → 8
c) 0,109090909 ...
hele delen → 0
desimal del → 0,10909090
Antiperiod → 1
Tidsforløpet → 09
Les også: Hva er ekvivalente brøker?
Hva er generativ brøk?
generere brøkdel er den fraksjonelle representasjonen av den periodiske desimalen, det være seg enkelt, det være seg komponert. Som navnet antyder, genererer den genererende fraksjonen tienden når vi deler telleren ved nevneren av brøkrepresentasjonen.
Eksempler:
Trinn for trinn for å beregne generasjonsfraksjonen
La oss ta en trinnvis titt på den enkle periodiske desimalen og den sammensatte periodiske desimalen.
enkle periodiske tiende
For å finne den genererende brøkdelen av en enkel periodisk desimal, er det nødvendig å følge noen få trinn, nemlig:
Første trinn: lik den periodiske desimalen til x.
2. trinn: i henhold til antall sifre i perioden, multipliser begge sider av ligningen med:
10 → hvis det er 1 siffer i perioden;
100 → hvis det er to sifre i perioden;
1000 → hvis det er tre sifre i perioden; og så videre.
Tredje trinn: beregne forskjellen mellom ligning funnet i trinn 2 og ligningen lik x i trinn 1, og løse ligningen.
Eksempel 1:
Finn generasjonsfraksjonen av 1 444 desimal ...
x = 1.4444 ...
Perioden er 4, og siden det bare er ett siffer i perioden, vil vi multiplisere det med 10 av begge sider:
10x = 1.444... · 10
10x = 14,444 ...
10x - x = 14,444.. – 0,444…
9x = 14
x = 14/9
Så, den genererende brøkdelen av tienden er:
Eksempel 2:
Finn den genererende brøkdelen av den periodiske desimalen 3.252525 ...
x = 3,252525 ...
Perioden er 25, og da den har to sifre, multipliserer vi den med 100.
100x = 3.252525... · 100
100x = 325,252525 ...
Nå beregner du forskjell mellom 100x og x:
100x - x = 325.2525... - 3.252525 ...
99x = 322
x = 322/99
Så, den genererende brøkdelen av tienden er:
sammensatt periodisk tiende
Når den periodiske desimalen er sammensatt, er det som endres vi la til et nytt trinn i oppløsningen for å finne generasjonsfraksjonen.
Første trinn: lik den periodiske desimalen til x.
2. trinn: transformer sammensatt periodisk desimal til en enkel periodisk desimal ved å multiplisere med:
10, hvis det er 1 siffer i antiperioden;
100 hvis det er to sifre i antiperioden; og så videre.
Tredje trinn: i henhold til antall sifre i perioden, multipliser begge sider av ligningen med:
10 → hvis det er 1 siffer i perioden;
100 → hvis det er to sifre i perioden;
1000 → hvis det er tre sifre i perioden; og så videre.
4. trinn: beregne forskjellen mellom ligningen som ble funnet i trinn 3 og trinn 2, og løse ligningen.
Eksempel:
Finn generasjonsfraksjonen av 5.0323232 tienden ...
x = 5.0323232 ...
Merk at det er ett siffer i antiperioden, som er 0. Vi multipliserer det med 10 for å gjøre det til en periodisk desimal.
10x = 5.0323232... · 10
10x = 50,332232 ...
La oss nå identifisere perioden, som er 32. Siden det er to sifre, multipliserer vi tienden med 100.
1000x = 5032.323232 ...
Nå beregner vi forskjellen mellom 1000x og 10x:
1000x - 10x = 5032.323232... - 50.323232 ...
990x = 4982
x = 4982/990
Så generasjonsfraksjonen er:
Se også: Hvordan dannes et blandet tall?
praktisk metode
Vi bruker den praktiske metoden til forenkle prosessen med å finne den genererende brøkdelen av den periodiske desimalen. La oss se på to forskjellige tilfeller: når den periodiske desimalen er enkel og når den er sammensatt.
Praktisk metode for enkle periodiske tiende
I en enkel periodisk desimal er den praktiske metoden å:
Første trinn: skriv summen mellom heltall og desimaldel av periodisk desimal;
2. trinn: transformer desimaldelen til brøk, som følger: telleren vil alltid være perioden og nevneren vil være:
9 → hvis det er 1 siffer i perioden;
99 → hvis det er to sifre i perioden;
999 → hvis det er tre sifre i perioden; og så videre.
3. trinn: Summ hele tallet med funnet brøk.
Eksempel:
5,888…
5,888… = 5 + 0,888…
Ved å transformere 0.888... til brøk, har vi teller lik 8, siden 8 er perioden for brøk, og nevner lik 9, siden det bare er ett siffer i perioden, så:
Praktisk metode for periodiske sammensatte tiende
Eksempel:
Vi finner den genererende brøkdelen av 4.1252525 tienden ...
Først identifiserer vi hele delen, antiperioden og perioden for den sammensatte tienden:
Hele delen: 4
Antiperiod: 1
Periode: 25
Telleren for den sammensatte tienden er forskjellen mellom tallet dannet av sifrene i hele delen, antiperiod og periode, og tallet dannet av hele delen og antiperiod.
4125 – 41 =4084
I nevneren, for hvert tall i perioden, legger vi til et 9 og deretter, for hvert tall i den ikke-periodiske delen, a 0.
perioden er 25, så legger vi til 99; antiperíalt er 1, så legger vi til 0, deretter nevneren é990.
Den genererende brøkdelen av tienden er:
løste øvelser
Spørsmål 1 - Ved utførelse av inndelingen mellom to naturlige tall ble den periodiske desimalen 1.353535 funnet... Den genererende brøkdelen av denne desimalen er:
Vedtak
Alternativ C.
Vi vil gjøre x = 1.353535 ...
Ved å multiplisere med 100 på begge sider, må vi:
100 x = 135,3535 ...
La oss nå beregne forskjellen mellom 100x og x.
Spørsmål 2 - Hvis x = 0,151515… og y = 0,242424…, er divisjonen y: x lik?
Vedtak
Alternativ A.
For å finne generasjonsfraksjonene etter den praktiske metoden, må vi:
x = 0,151515 ...
Tienden har en periode lik 15, så telleren er 15, og nevneren er 99.
Med samme resonnement for y = 0.242424…, er telleren 24, og nevneren er 99.
Av Raul Rodrigues de Oliveira
Matematikklærer
