Når vi studerer polyhedra, kommer vi over Platons faste stoffer som et bestemt tilfelle. For å være et platonfast stoff, må polyhedronen oppfylle tre betingelser:
være konveks;
alle ansiktene har like mange kanter;
alle hjørner er ender av samme antall kanter.
Flere filosofer søkte å forstå universets opprinnelse, og Platon så det inn romlig geometri forklaringen på dette opphavet. Platons faste stoffer er:
tetraeder;
heksaheder;
oktaeder;
dodekaeder;
icosahedron.
Alle av dem regnes som vanlige polygoner, som deres kanter og ansiktene er kongruente. Platons faste stoffer respekterer Eulers forhold, som viser antall hjørner, ansikter og kanter etter formelen V + F = A + 2.
Les også: Hva er forskjellen mellom flate og romlige figurer?
vanlig polyhedra
Søket etter vanlig polyhedra er tilbakevendende, ettersom de er lettere å jobbe med. Et polyeder er klassifisert som vanlig hvis det har alle ansiktene dannet av det samme polygon kongruent. Når dette skjer, vil vinkler og kanter er også kongruente.
Platons faste stoffer er spesielle tilfeller av vanlig polyhedra. Kuben, for eksempel, som er et platonfast stoff, har alle ansiktene dannet av kongruente firkanter. Av Platons fem faste stoffer, tre er dannet av trekantede flater med kongruente trekanter, den ene er dannet av firkantede flater og den andre er dannet av femkantede flater.
Ikke stopp nå... Det er mer etter annonseringen;)
Hva er Platons faste stoffer?
Platon var en gresk filosof og matematiker. Han ga store bidrag til matematikk, og i å prøve å forstå universet, tilknyttede faste stoffer med naturelementer.
For å være et platonisk faststoff må polyhedronet være det vanlig og konveks. Det er bare fem faste stoffer som tilfredsstiller denne definisjonen. De er: tetraeder, terning eller heksaheder, oktaeder, ikosaeder og dodekaeder.
Forholdet mellom naturelementet og det faste var:
tetraeder - Brann
hekseder - Jorden
oktaeder - luft
icosahedron - Vann
dodekaeder - Cosmo eller Universe
Å være en Platon solid, O polyeder må også være konveks, må alle ansikter ha samme antall kanter og alle hjørner må være ender av samme antall kanter.
Se også: Brostein - geometriske faste stoffer dannet av flate og mangekantede ansikter
vanlig tetraeder
Den vanlige tetraeder er en flerhet som har 4 ansikter, som rettferdiggjør navnet (tetra = fire). alle ansiktene dine er dannet av trekanter. Den er formet som en pyramide av trekantet base og er kjent som en pyramide av vanlig base, siden alle ansiktene er kongruente. Den har totalt 4 ansikter (i formatet likesidet trekant), 4 hjørner og 6 kanter.
Hvis du vil bygge din egen vanlige tetraeder, er det bare å laste ned og skrive ut PDF-filen på her.
Vanlig terning eller heksaheder
den vanlige heksaheder har 6 ansikter, som rettferdiggjør navnet (hex = seks). ansiktene dine er alle torget. Det er også kjent som en kube og har 6 ansikter, 12 kanter og 8 hjørner.
Hvis du vil bygge din egen kube, er det bare å laste ned og skrive ut PDF-filen på her.
Oktahedron
Som de forrige er navnet knyttet til antall ansikter, derav oktaeder har 8 ansikter. Disse ansiktene har ensidig trekantform. Oktaheder har 8 ansikter, 12 kanter og 6 hjørner.
Hvis du vil bygge din egen oktaeder, er det bare å laste ned og skrive ut PDF-filen på her.
icosahedron
Icosaeder har totalt 20 ansikter. Ansiktene deres er formet som ensidige trekanter, akkurat som oktaeder. Den har totalt 20 ansikter, 30 kanter og 12 hjørner.
Hvis du vil bygge din egen icosahedron, er det bare å laste ned og skrive ut PDF-filen på her.
Dodekahedron
Dodekaeder er den siste av Platons faste stoffer. Den har totalt 12 ansikter og det regnes som mer harmonisk blant de fem platoniske faste stoffene. Ansiktene deres har form av femkanter. Den har 12 ansikter, 30 kanter og 20 hjørner.
Hvis du vil bygge din egen dodecahedron, er det bare å laste ned og skrive ut PDF-filen på her.
Også tilgang: Sylinder - geometrisk solid dannet av to parallelle sirkulære flater og i forskjellige plan
Eulers formel
Eulerian polyhedra er konvekse polyhedra. Euler utviklet en formel som relaterer antall ansikter (F), antall hjørner (V) og antall kanter (A) i en konveks polyhedron. Alle faste stoffer fra Platon tilfredsstiller Euler-forholdet.
V + F = A + 2 |
Analyserer formelen, det er da mulig å beregne antall hjørner fra antall ansikter og kanter, eller antall ansikter fra antall hjørner og kanter, kort sagt, å kjenne til to av elementene, er det alltid mulig å finne det tredje.
Eksempel:
Å vite at et polyhedron har 8 hjørner og 12 kanter og at det er vanlig, hvor mange ansikter har det?
Vi vet at V + F = A + 2
V = 8
A = 12
8 + F = 12 + 2
8 + F = 14
F = 14 - 8
F = 6
løste øvelser
Spørsmål 1 - (Enem 2016) Platons faste stoffer er konvekse polyedre med ansikter som er kongruente til en enkelt polygon regelmessig har alle hjørner samme antall innfallende kanter, og hver kant deles av bare to. ansikter. De er viktige, for eksempel i klassifiseringen av formene til mineralkrystaller og i utviklingen av forskjellige gjenstander. Som alle konvekse polyhedroner, respekterer Platons faste stoffer Euler-forholdet V - A + F = 2, hvor V, A og F er henholdsvis antall hjørner, kanter og flater.
Hva er forholdet mellom antall hjørner og antall ansikter i en krystall, hvis form har en trekantet Platons polyhedron?
A) 2V - 4F = 4
B) 2V - 2F = 4
C) 2V - F = 4
D) 2V + F = 4
E) 2V + 5F = 4
Vedtak
Alternativ C. Siden ansiktene er trekantede, vet vi at for hvert ansikt er det 3 kanter. For å relatere antall kanter til antall ansikter, er det imidlertid viktig å huske at hver kant er inneholdt på to ansikter, fordi møtet med to ansikter danner en kant, slik at vi kan relatere kant til ansikt i dette tilfellet per:
Når vi har Euler-forholdet V - A + F = 2 og erstatter A, må vi:
Spørsmål 2 - Ut fra alternativene nedenfor, bedøm hvilken som ikke er et Platon-solid.
A) Kube
B) Vanlig tetraeder
C) Icosahedron
D) Dodekaeder
E) Kjegle
Vedtak:
Alternativ E. Av alternativene er den eneste som ikke tilsvarer et Platon-fast stoff Kjegle.
Av Raul Rodrigues de Oliveira
Matematikklærer
