Sinus, cosinus en tangens zijn de namen gegeven aan trigonometrische verhoudingen. De meeste problemen met afstandsberekeningen worden opgelost met behulp van de trigonometrie. En daarvoor is het erg belangrijk om de grondbeginselen ervan te begrijpen, te beginnen met de rechthoekige driehoek.
Trigonometrische verhoudingen zijn ook erg belangrijk, omdat ze betrekking hebben op de metingen aan beide zijden van de driehoek met een van de scherpe hoeken, associëren deze relatie met a echt nummer.
Bekijk meer: De kwadranten van de trigonometrische cyclus identificeren
Eigenschappen van de rechter driehoek
De rechthoekige driehoek wordt gevormd door a hoek 90° (rechte hoek). De andere hoeken zijn kleiner dan 90º, dat wil zeggen, ze zijn scherp, en bovendien weten we dat de grootste zijden altijd tegenover de grootste hoeken liggen. In de rechthoekige driehoek wordt de grootste zijde de genoemd hypotenusa en is "voor" van de rechte hoek, de andere zijden worden genoemd pekari's.
In de driehoek hierboven hebben we dat de zijden die c en b meten de benen zijn, en de zijde die a meet de hypotenusa is. In elke rechthoekige driehoek kende de relatie als de stelling van Pythagoras is geldig.
De2 = b2 + c2
De halsbandpekari krijgt voortaan ook speciale namen. De nomenclatuur van de benen zal afhangen van de referentiehoek. Gezien de hoek in blauw in de afbeelding hierboven, hebben we dat de zijde die b meet de. is tegenovergestelde been, en de zijde die naast de hoek ligt, dat wil zeggen, die c meet, is de aangrenzend been.
Niet stoppen nu... Er is meer na de reclame ;)
Sinus
Laten we, voordat we een formule voor de sinus van een hoek definiëren, het idee van sinus begrijpen. Stel je een helling voor, waarop we kunnen bepalen reden tussen hoogte en koers, toch? Deze verhouding wordt de sinus van de hoek genoemd.
Dus,
zonde α = hoogte
route
cosinus
Analoog aan het idee van sinus hebben we het gevoel van cosinus, maar in een helling is de cosinus de verhouding tussen de afstand van de grond en het pad langs de helling.
Dus:
cos α = verwijdering
route
Raaklijn
Ook vergelijkbaar met de ideeën van sinus en cosinus, is de tangens de verhouding tussen de hoogte en de afstand van een helling.
Dus:
tg α = hoogte
verwijdering
De raaklijn geeft ons de klimsnelheid.
Lees ook: Trigonometrie in elke driehoek
Relatie tussen sinus, cosinus en tangens
Over het algemeen kunnen we dan sinus, cosinus en tangens definiëren in elke rechthoekige driehoek met behulp van de vorige ideeën. Zie hieronder:
Eerst de. nemen hoek als referentie hebben we:
zonde α = andere kant = ç
hypotenusa naar
cos α = aangrenzende katet cat = B
hypotenusa naar
tg α = andere kant = ç
aangrenzende catet b
Als we nu de hoek β als referentie nemen, hebben we:
zonde β = andere kant = B
hypotenusa naar
cos β = aangrenzende katet cat = ç
hypotenusa naar
tg β = andere kant = B
aangrenzende kathetus c
Goniometrische tabellen
Er zijn drie hoekwaarden die we moeten kennen. Zijn zij:
De andere waarden staan in de opgaven van de oefeningen of kunnen worden gecontroleerd in de volgende tabel, maar maak je geen zorgen, het is niet nodig om ze te onthouden (behalve die in de vorige tabel).
Hoek (°) |
sinus |
cosinus |
raaklijn |
Hoek (°) |
sinus |
cosinus |
raaklijn |
1 |
0,017452 |
0,999848 |
0,017455 |
46 |
0,71934 |
0,694658 |
1,03553 |
2 |
0,034899 |
0,999391 |
0,034921 |
47 |
0,731354 |
0,681998 |
1,072369 |
3 |
0,052336 |
0,99863 |
0,052408 |
48 |
0,743145 |
0,669131 |
1,110613 |
4 |
0,069756 |
0,997564 |
0,069927 |
49 |
0,75471 |
0,656059 |
1,150368 |
5 |
0,087156 |
0,996195 |
0,087489 |
50 |
0,766044 |
0,642788 |
1,191754 |
6 |
0,104528 |
0,994522 |
0,105104 |
51 |
0,777146 |
0,62932 |
1,234897 |
7 |
0,121869 |
0,992546 |
0,122785 |
52 |
0,788011 |
0,615661 |
1,279942 |
8 |
0,139173 |
0,990268 |
0,140541 |
53 |
0,798636 |
0,601815 |
1,327045 |
9 |
0,156434 |
0,987688 |
0,158384 |
54 |
0,809017 |
0,587785 |
1,376382 |
10 |
0,173648 |
0,984808 |
0,176327 |
55 |
0,819152 |
0,573576 |
1,428148 |
11 |
0,190809 |
0,981627 |
0,19438 |
56 |
0,829038 |
0,559193 |
1,482561 |
12 |
0,207912 |
0,978148 |
0,212557 |
57 |
0,838671 |
0,544639 |
1,539865 |
13 |
0,224951 |
0,97437 |
0,230868 |
58 |
0,848048 |
0,529919 |
1,600335 |
14 |
0,241922 |
0,970296 |
0,249328 |
59 |
0,857167 |
0,515038 |
1,664279 |
15 |
0,258819 |
0,965926 |
0,267949 |
60 |
0,866025 |
0,5 |
1,732051 |
16 |
0,275637 |
0,961262 |
0,286745 |
61 |
0,87462 |
0,48481 |
1,804048 |
17 |
0,292372 |
0,956305 |
0,305731 |
62 |
0,882948 |
0,469472 |
1,880726 |
18 |
0,309017 |
0,951057 |
0,32492 |
63 |
0,891007 |
0,45399 |
1,962611 |
19 |
0,325568 |
0,945519 |
0,344328 |
64 |
0,898794 |
0,438371 |
2,050304 |
20 |
0,34202 |
0,939693 |
0,36397 |
65 |
0,906308 |
0,422618 |
2,144507 |
21 |
0,358368 |
0,93358 |
0,383864 |
66 |
0,913545 |
0,406737 |
2,246037 |
22 |
0,374607 |
0,927184 |
0,404026 |
67 |
0,920505 |
0,390731 |
2,355852 |
23 |
0,390731 |
0,920505 |
0,424475 |
68 |
0,927184 |
0,374607 |
2,475087 |
24 |
0,406737 |
0,913545 |
0,445229 |
69 |
0,93358 |
0,358368 |
2,605089 |
25 |
0,422618 |
0,906308 |
0,466308 |
70 |
0,939693 |
0,34202 |
2,747477 |
26 |
0,438371 |
0,898794 |
0,487733 |
71 |
0,945519 |
0,325568 |
2,904211 |
27 |
0,45399 |
0,891007 |
0,509525 |
72 |
0,951057 |
0,309017 |
3,077684 |
28 |
0,469472 |
0,882948 |
0,531709 |
73 |
0,956305 |
0,292372 |
3,270853 |
29 |
0,48481 |
0,87462 |
0,554309 |
74 |
0,961262 |
0,275637 |
3,487414 |
30 |
0,5 |
0,866025 |
0,57735 |
75 |
0,965926 |
0,258819 |
3,732051 |
31 |
0,515038 |
0,857167 |
0,600861 |
76 |
0,970296 |
0,241922 |
4,010781 |
32 |
0,529919 |
0,848048 |
0,624869 |
77 |
0,97437 |
0,224951 |
4,331476 |
33 |
0,544639 |
0,838671 |
0,649408 |
78 |
0,978148 |
0,207912 |
4,70463 |
34 |
0,559193 |
0,829038 |
0,674509 |
79 |
0,981627 |
0,190809 |
5,144554 |
35 |
0,573576 |
0,819152 |
0,700208 |
80 |
0,984808 |
0,173648 |
5,671282 |
36 |
0,587785 |
0,809017 |
0,726543 |
81 |
0,987688 |
0,156434 |
6,313752 |
37 |
0,601815 |
0,798636 |
0,753554 |
82 |
0,990268 |
0,139173 |
7,11537 |
38 |
0,615661 |
0,788011 |
0,781286 |
83 |
0,992546 |
0,121869 |
8,144346 |
39 |
0,62932 |
0,777146 |
0,809784 |
84 |
0,994522 |
0,104528 |
9,514364 |
40 |
0,642788 |
0,766044 |
0,8391 |
85 |
0,996195 |
0,087156 |
11,43005 |
41 |
0,656059 |
0,75471 |
0,869287 |
86 |
0,997564 |
0,069756 |
14,30067 |
42 |
0,669131 |
0,743145 |
0,900404 |
87 |
0,99863 |
0,052336 |
19,08114 |
43 |
0,681998 |
0,731354 |
0,932515 |
88 |
0,999391 |
0,034899 |
28,63625 |
44 |
0,694658 |
0,71934 |
0,965689 |
89 |
0,999848 |
0,017452 |
57,28996 |
45 |
0,707107 |
0,707107 |
1 |
90 |
1 |
Weet ook: Secans, cosecans en cotangens
opgeloste oefeningen
vraag 1 - Bepaal de waarde van x en y in de volgende driehoek.
Oplossing:
Zie in de driehoek dat de gegeven hoek 30° was. Nog steeds kijkend naar de driehoek, hebben we de zijde die meet X het is de tegenovergestelde been onder een hoek van 30°, en de zijde die meet ja het is de aangrenzend been onder een hoek van 30°. We moeten dus zoeken naar een trigonometrische verhouding die betrekking heeft op wat we zoeken met wat wordt gegeven (hypotenusa). Spoedig:
zonde 30° = andere kant
hypotenusa
cos 30° = aangrenzende katet cat
hypotenusa
Bepaal de waarde van x:
zonde 30° = andere kant
hypotenusa
zonde 30° = X
2
Als we naar de tabel kijken, moeten we:
zonde 30° = 1
2
Als we het in de vergelijking substitueren, krijgen we:
1 = X
2 2
x = 1
Evenzo zullen we overwegen:
Dus:
Cos 30° = √3
2
cos 30° = aangrenzende katet cat
hypotenusa
cos 30° = Y
2
√3 = Y
2 2
y = √3
vraag 2 – (PUC-SP) Wat is de waarde van x in de volgende afbeelding?
Oplossing:
Kijkend naar de grotere driehoek, merk op dat y tegenover de hoek van 30 ° is en dat 40 de hypotenusa is, dat wil zeggen dat we de trigonometrische sinusverhouding kunnen gebruiken.
zonde 30° = Y
40
1 = Y
2 40
2 jaar = 40
y = 20
Als we nu naar de kleinere driehoek kijken, zien we dat we de waarde van de tegenoverliggende zijde hebben en zoeken we naar de waarde van x, wat de aangrenzende zijde is. De trigonometrische relatie tussen deze twee benen is de raaklijn. Dus:
tg 60° = 20
X
√3= 20
X
√3 x = 20
x = 20 · √3
√3 √3
x = 20√3
3
door Robson Luiz
Wiskundeleraar
Wil je naar deze tekst verwijzen in een school- of academisch werk? Kijken:
LUIZ, Robson. "Sinus, cosinus en tangens"; Brazilië School. Beschikbaar in: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/seno-cosseno-tangente-angulos.htm. Betreden op 27 juni 2021.
