O gelijkzijdige driehoek is een speciaal type driehoek. Om deze reden zijn alle eigenschappen die van toepassing zijn op driehoeken geldig, maar dit type heeft ook: specifieke eigenschappen.
Wanneer een veelhoek het heeft slechts drie kanten, het staat bekend als driehoek. Deze geometrische vorm kan worden geclassificeerd bij het vergelijken van de zijkanten. Dus een driehoek kan zijn schaal, wanneer alle kanten verschillend zijn;gelijkbenig, wanneer twee zijden congruent zijn; en gelijkzijdig, wanneer de drie zijden congruent zijn.
De gelijkzijdige driehoek heeft specifieke kenmerken vanwege zijn gelijke afmetingen. Er zijn zelfs formules voor het berekenen van oppervlakte en omtrek die alleen efficiënt zijn voor gelijkzijdige driehoeken
Lees ook: Piramides - geometrische figuren waarvan de zijvlakken worden gevormd door driehoeken
Eigenschappen van de gelijkzijdige driehoek
Een driehoek is een gelijkzijdige als hij heeft de meting van de drie congruente zijden, dus, bijgevolg, de jouw hoeken
intern zijn ook congruent. Aangezien de som van de binnenhoeken van een driehoek altijd gelijk is aan 180º en de hoeken gelijk zijn, als we 180 angle delen door 3, komen we op hoeken van 60º. De interne hoeken van de gelijkzijdige driehoek zijn daarom altijd 60°.
Vanwege deze kenmerken heeft de gelijkzijdige driehoek specifieke eigenschappen. als we traceren de hoogte van de gelijkzijdige driehoek, zal het ook de bissectrice zijn (lijnsegment dat de hoek in twee congruente delen verdeelt) en gemiddelde (rechte lijn die het hoekpunt verbindt met het middelpunt van de tegenoverliggende zijde).
Bij het delen van de driehoek zoals gedaan in de vorige afbeelding, kan de hoogte van de driehoek worden geschreven als een functie van de zijde, wat kan worden aangetoond door beide trigonometrie hoeveel bij? de stelling van Pythagoras.
De formule voor het berekenen van de hoogte van een gelijkzijdige driehoek is:
Lees ook:Mediaan, bissectrice en hoogte van een driehoek
Niet stoppen nu... Er is meer na de reclame ;)
→ 1e demonstratie:
In de stelling van Pythagoras wordt aangetoond dat er een relatie is tussen de zijden van a rechthoekige driehoek. De som van het kwadraat van de benen is gelijk aan het kwadraat van de hypotenusa. De hypotenusa is de grootste zijde tegenover de hoek van 90° (in ons geval de zijde die meet Daar), en de benen zijn de andere twee kanten. We moeten dus:
→ 2e demonstratie:
Het is de moeite waard om twee belangrijke feiten over trigonometrie te onthouden. Een daarvan is de sinus van de ene hoek en de andere is de sinuswaarde van 60°.
De sinus van elke hoek wordt gegeven door de relatie tussen de overstaande zijde en de hypotenusa van de rechthoekige driehoek:
Het is ook de moeite waard om te onthouden opmerkelijke hoeken, dat zijn de hoeken van 30º, 45º en 60º. In dit geval zullen we de hoek van 60º gebruiken, dus het is belangrijk om erop te wijzen dat:
Dit maakt het mogelijk om aan te tonen dat hoogte alleen afhangt van h. Kijken:
Ongeacht het type demonstratie kunt u zien dat de hoogte (h) alleen afhangt van de waarde van de te berekenen zijde.
Omtrek van de gelijkzijdige driehoek
Omtrek is de som van alle zijden van een veelhoek. Aangezien de gelijkzijdige driehoek a. is regelmatige veelhoek, d.w.z. heeft alle drie congruente zijden, de berekening van uw omtrek is heel eenvoudig, het hangt alleen af van de zijdelingse meting Daar van een gelijkzijdige driehoek. Omdat het alle drie zijden met dezelfde maat heeft, moeten we:
P = 3Daar
Voorbeeld 1:
Bereken de omtrek van de gelijkzijdige driehoek waarvan de zijde 9 cm is.
Resolutie:
P = 3Daar
P = 3,9 = 27 cm
Voorbeeld 2:
Om een stuk grond af te schermen met 5 lussen draad was 450 meter draad nodig. Wetende dat het terrein de vorm heeft van een gelijkzijdige driehoek, wat is dan de afmeting van elk van zijn zijden?
Resolutie:
We hebben als gegeven 5 keer de omtrek en we willen de waarde van de zijden vinden.
Daarom moeten we:
Ook toegang: Prismagebied - berekening gemaakt van de platte geometrische lichamen solid
gelijkzijdige driehoek gebied
We begrijpen dat oppervlakte van een driehoek elke wordt gegeven door vermenigvuldiging van grondtal met hoogte gedeeld door twee, maar de gelijkzijdige driehoek heeft er een speciale formule voor, die als volgt is:
→ Formule demonstratie:
De oppervlakte van elke driehoek wordt gegeven door:
opgeloste oefeningen
Vraag 1 - Zijn de oppervlakte en hoogte van een gelijkzijdige driehoek met een omtrek van respectievelijk 15 cm (hint: gebruik √3 = 1,7)?
a) 15 en 225
b) 5 en 11.3
c) 10.5 en 21
d) 4.25 en 10.625
e) 8.5 en 22.5
Resolutie
- 1e stap: zoek de waarde aan de zijkant Daar.
Als de omtrek 15 cm is, betekent dit dat 3Daar is gelijk aan 15, dus de zijde van de driehoek is 5 cm.
- 2e stap: hoogte berekenen.
- 3e stap: bereken de oppervlakte.
Brief D.
Vraag 2 - Een gelijkzijdige driehoek heeft zijden van y, 2x + 3 en 4x – 2, dus de waarden van x en y zijn respectievelijk:
a) 5 en 16
b) 16 en 5
c) 4 en 2
d) 8 en 2,5
e) 2,5 en 8
Resolutie:
Een gelijkzijdige driehoek heeft congruente zijden, dus:
Laten we eerst de zijden matchen die dezelfde onbekende hebben:
Als we de waarde van x kennen, kiezen we elke kant met deze onbekende en stellen we deze in op y.
Brief e.
Door Raul Rodrigues de Oliveira
Wiskundeleraar
Wil je naar deze tekst verwijzen in een school- of academisch werk? Kijken:
OLIVEIRA, Raul Rodrigues de. "Gelijkzijdige driehoek"; Brazilië School. Beschikbaar in: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/o-triangulo-equilatero-seus-elementos.htm. Betreden op 27 juni 2021.
