de set van priemgetallen is het object van studie in wiskunde uit het oude Griekenland. Euclides besprak het onderwerp al in zijn grote werk "The Elements" en slaagde erin aan te tonen dat dit set het is oneindig. Zoals we weten, zijn de priemgetallen die met het getal 1 als deler en zichzelf, dus het vinden van zeer grote priemgetallen is geen gemakkelijke taak, en de zeef van Eratosthenes maakt het gemakkelijk. vergadering.
Hoe weet je wanneer een getal een priemgetal is?
We weten dat een priemgetal a. iswie heeft als scheidingslijn de nummer 1 en hijzelf, dus een getal dat in zijn lijst met delers andere getallen heeft dan 1 en op zichzelf geen priemgetal is, zie:
Door de 11 en 30 verdelers op te sommen, hebben we:
D(11) = {1, 11}
D(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 30}
Merk op dat het getal 11 alleen het getal 1 en zichzelf als delers heeft, dus de nummer 11 is een priemgetal. Kijk nu naar de delers van het getal 30, het heeft, naast het getal 1 en zichzelf, de getallen 2, 3, 5, 6 en 10 met delers. daarom, het getal 30 is geen priemgetal.
→ Voorbeeld: Noem de priemgetallen kleiner dan 15.
Hiervoor zullen we de delers van alle getallen tussen 2 en 15 opsommen.
D(2) = {1, 2}
D(3) = {1,3}
D(4) = {1, 2, 4}
D(5) = {1, 5}
D(6) = {1, 2, 3, 6}
D(7) = {1, 7}
D(8) = {1, 2, 4, 8}
D(9) = {1, 3, 9}
D(10) = {1, 2, 5, 10}
D(11) = {1, 11}
D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
D(13) = {1, 13}
D(14) = {1, 2, 7, 14}
D(15) = {1, 3, 5, 15}
Dus priemgetallen kleiner dan 15 zijn:
2, 3, 5, 7, 11 en 13
Laten we eerlijk zijn, deze taak zou bijvoorbeeld niet erg prettig zijn als we alle priemgetallen tussen 2 en 100 zouden opschrijven. Om dit te vermijden, zullen we in het volgende onderwerp leren de zeef van Eratosthenes te gebruiken.
Niet stoppen nu... Er is meer na de reclame ;)
Zeef van Eratosthenes
De zeef van Eratosthenes is een hulpmiddel dat tot doel heeft de bepaling van priemgetallen te vergemakkelijken. De zeef bestaat uit vier stappen, en om ze te begrijpen, moet je rekening houden met de deelbaarheidscriteria. Voordat we stap voor stap beginnen, moeten we een tabel maken van nummer 2 tot het gewenste nummer, omdat nummer 1 geen priemgetal is. Dan:
→ Stap 1: Uit het deelbaarheidscriterium door 2 hebben we dat de even getallen er allemaal door deelbaar zijn, dat wil zeggen de nummer 2 zal verschijnen in de lijst met delers, dus deze getallen zullen geen priemgetallen zijn en we moeten ze uitsluiten van de tafel. Zijn zij:
4, 6, 8, 10, 12, 14, …, 1000, 1002, 1004, …
→ Stap 2: Uit het criterium van deelbaarheid door 3 weten we dat een getal deelbaar is door 3 als de som van zijn cijfers is het ook. We moeten deze getallen dus uitsluiten van de tabel, omdat ze geen priemgetallen zijn omdat er een ander getal dan 1 en zichzelf in de lijst met delers staat. We moeten dus de getallen uitsluiten:
6, 9, 12, 15, 18, …, 2133, 2136, …
→ Stap 3: Uit het criterium van deelbaarheid door 5 weten we dat alle getallen die eindigen op 0 of 5 deelbaar zijn door 5, dus we moeten ze uitsluiten van de tabel.
10, 15, 20, 25, …, 655, 670,…
→ Stap 4: Evenzo moeten we getallen die veelvouden zijn van 7 uit de tabel uitsluiten.
14, 21, 28, …, 546, …
– Laten we, als we de zeef van Eratosthenes kennen, de priemgetallen tussen 2 en 100 bepalen.
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
31 |
32 |
33 |
34 |
35 |
36 |
37 |
38 |
39 |
40 |
41 |
42 |
43 |
44 |
45 |
46 |
47 |
48 |
49 |
50 |
51 |
52 |
53 |
54 |
55 |
56 |
57 |
58 |
59 |
60 |
61 |
62 |
63 |
64 |
65 |
66 |
67 |
68 |
69 |
70 |
71 |
72 |
73 |
74 |
75 |
76 |
77 |
78 |
79 |
80 |
81 |
82 |
83 |
84 |
85 |
86 |
87 |
88 |
89 |
90 |
91 |
92 |
93 |
94 |
95 |
96 |
97 |
98 |
99 |
100 |
→ zijn geen neven
→ priemgetallen
Dus de priemgetallen tussen 2 en 100 zijn:
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97}
Lees ook: MMC- en MDC-berekening: hoe doe je dat?
Ontleding van priemfactoren
DE ontleding van priemfactoren is formeel bekend als fundamentele stelling van de rekenkunde. Deze stelling stelt dat elke geheel getal verschillend van 0 en groter dan 1 kan worden weergegeven door het product van priemgetallen. Om de ontbonden vorm van een geheel getal te bepalen, moeten we opeenvolgende delingen uitvoeren totdat we het resultaat bereiken dat gelijk is aan 1. Zie het voorbeeld:
→ Bepaal de ontbonden vorm van de getallen 8, 20 en 350.
Om het getal 8 te ontbinden, moeten we het delen door het eerst mogelijke priemgetal, in dit geval door 2. Vervolgens voeren we nog een deling uit, ook door het mogelijke priemgetal, dit proces wordt herhaald totdat we het getal 1 bereiken als het antwoord op de deling. Kijken:
8: 2 = 4
4: 2 = 2
2: 2 = 1
Daarom is de ontbonden vorm van het getal 8 2 · 2 · 2 = 23. Om dit proces te vergemakkelijken, hanteren we de volgende methode:
Daarom kan het getal 8 worden geschreven als: 23.
→ Om het getal 20 te ontbinden, gebruiken we dezelfde methode, namelijk: delen door priemgetallen.
Dus het getal 20 is in zijn ontbonden vorm: 2 · 2 · 5 of 22 · 5.
→ Evenzo doen we het met het getal 350.
Daarom is het getal 350, in zijn ontbonden vorm,: 2 · 5 · 5 · 7 of 2 · 52 · 7.
Zie ook: Wetenschappelijke notatie: waar is het voor?
Oefeningen opgelost
vraag 1 – Vereenvoudig de uitdrukking:
Oplossing
Laten we eerst de uitdrukking factoriseren om het gemakkelijker te maken.
Dus 1024 = 210, en daarom kunnen we de ene voor de andere vervangen in de oefeningsuitdrukking. Dus:
door Robson Luiz
Wiskundeleraar
