O minimum gemene veelvoud (MMC) tussen twee gehele getallen x en y is het kleinste gehele getal dat een veelvoud is van x en y tegelijk. Op deze manier is er in ieder geval één manier om de te vinden MMC tussen twee getallen x en y: zoek in de verzamelingen van veelvouden van x en y naar het kleinste gemene element. Natuurlijk is er een praktische methode om dit nummer te vinden, die hieronder zal worden besproken. Het is echter noodzakelijk om het concept van veelvouden van een geheel getal goed te begrijpen.
Wat zijn veelvouden?
Een geheel getal k heet a meerdere van x als er een natuurlijk getal n is zodat n·x = k. Neem het voorbeeld van het getal 110. Hij is meerdere van 10, aangezien 110 het resultaat is van de vermenigvuldiging van 10 met het natuurlijke getal 11.
Op deze manier is het mogelijk om te bepalen of het gehele getal k is meerdere van x door vallen en opstaan of door de inverse bewerking van vermenigvuldiging (delen) uit te voeren. Het getal k is een veelvoud van x als er een natuurlijk getal n is zodat:
n = k
X
Met andere woorden, om erachter te komen of 110 een veelvoud van 10 is, deelt u 110 door 10. Als het gevonden resultaat een natuurlijk getal is, is 110 een veelvoud van 10; anders, nee.
Omdat de verzameling natuurlijke getallen oneindig is, is de verzameling van veelvouden van elk geheel getal is ook oneindig. Om echter oefeningen op te lossen waarbij meerdere en MMC, het is goed om een lijst te maken van de eerste veelvouden van een getal om een betere analyse te krijgen van het gedrag van zijn veelvouden.
Hieronder staat een lijst van de eerste 10 veelvouden van 8, 10, 12, 20 en 40. Ze zijn de eerste 10 omdat ze het resultaat zijn van het vermenigvuldigen van deze getallen met de eerste 10 natuurlijke getallen.
10 eerste naturals: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
Veelvouden van 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80
Veelvouden van 10: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100
Veelvouden van 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120
Veelvouden van 20: 20, 40, 60, 80, 100, 120, 140, 160, 180, 200
Veelvouden van 40: 40, 80, 120, 160, 200, 240, 280, 320, 360, 400
Kleinste gemene veelvoud
om de te vinden kleinste gemene veelvoud tussen twee getallen, zoek de klein meervoud die ze gemeen hebben. De eerste techniek die wordt gebruikt om de mmc te vinden, is door ernaar te zoeken tussen veelvouden van de twee getallen. Kijk naar het voorbeeld:
Het kleinste gemene veelvoud tussen 10 en 12 is 60, want tussen de veelvouden van 10 en 12 is 60 het kleinste getal dat een veelvoud is van beide. Kijk maar:
Veelvouden van 10: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100
Veelvouden van 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120
Voor deze twee getallen, die klein zijn, is het gemakkelijk om de MMC te vinden. Maar hoe zit het als de berekening van MMC tussen 256 en 384 vereist is? Talloze vermoeiende vermenigvuldigingen zijn nodig als u door wilt gaan met deze methode. Daarvoor is er een praktische methode die hieronder zal worden besproken.
Ontledingsmethode voor het berekenen van MMC
Om de te berekenen kleinste gemene veelvoud tussen twee getallen, kunt u de ontleding van priemfactoren hun. De decomposities in priemfactoren van 10 en 12 zijn bijvoorbeeld:
10 = 2·5
12 = 2·2·3 = 22·3
Opmerking: wanneer herhaalde factoren verschijnen, schrijf ze in machtsvorm, zoals werd gedaan bij de ontleding van nummer 12.
De MMC tussen 10 en 12 is het product van de priemfactoren, behalve de herhalende factoren die de kleinste exponent hebben. Het minimum zal dus zijn:
Niet stoppen nu... Er is meer na de reclame ;)
22·3·5 = 4·3·5 = 12·5 = 60
Merk op dat factor 2, van de ontleding van het getal 10, werd genegeerd, omdat dezelfde factor, van de ontleding van het getal 12, werd gekwadrateerd.
Dit maakt het berekenen van de MMC tussen 256 en 384 eenvoudiger. Kijken:
256 = 2·2·2·2·2·2·2·2 = 28
384 = 2·2·2·2·2·2·2·3 = 27·3
MMC wordt product 28·3 = 256·3 = 768.
Voorbeeld 2: MMC tussen 768 en 4608
768 = 28·3
4608 = 29·32
De MMC wordt het product: 29·32.
Voorbeeld 3: Bereken de MMC tussen 2700 en 4608
2700 = 33·22·52
4608 = 29·32
Merk op dat de factoren 2, 3 en 5 zijn. Degenen met de hoogste exponenten zijn 29, 33 en 52. Dus de MMC wordt:
29·33·52 = 345600
Praktische methode om MMC te berekenen
Het is mogelijk om op te merken dat om getallen te ontleden in priemfactoren, het is noodzakelijk om ze te delen door de kleinst mogelijke priemdeler en toch de factoren te negeren die in dezelfde deling worden herhaald. Er is een methode die deze taak kan uitvoeren. Om het u te leren, gebruiken we het voorbeeld van: MMC tussen 1000 en 1024.
Schrijf deze twee getallen naast elkaar, gescheiden door een komma, en geef een verticale zijstreep rechts ervan:
1000, 1024 |
|
|
Schrijf rechts van dat spoor het kleinste priemgetal dat minstens één verdeelt tussen 1000 en 1024. In dit geval is het getal 2 en deelt het beide.
1000, 1024 | 2
|
|
Schrijf net onder elk van hen het resultaat van uw deling door 2 en herhaal voor deze resultaten de bovenstaande procedure totdat het niet langer mogelijk is om een van beide getallen door 2 te delen.
1000, 1024 |2
500, 512 |2
250, 256 |2
125, 128 |2
125, 64|2
125, 32 |2
125, 16 |2
125, 8 |2
125, 4 |2
125, 2 |2
125, 1 |
Merk op dat we op een gegeven moment het resultaat 125 vinden in de kolom 1000, maar 125 is niet deelbaar door 2. In de kolom nummer 1024 krijgen we alleen resultaten die deelbaar zijn door 2. In dit geval gaan we verder met het delen van de getallen in kolom 1024 door 2 en herhalen we het getal 125.
Wanneer de getallen in zowel de 1000 als de 1024 kolom niet meer deelbaar zijn door 2, probeer dan het volgende priemgetal: het getal 3. Als er geen delers van 3 meer zijn, probeer dan de volgende enzovoort totdat je het resultaat "1,1" krijgt. In het geval van het voorbeeld is 125 niet deelbaar door 3, maar door 5, dus we herhalen het proces door 5 rechts van het streepje te plaatsen. Kijk maar:
1000, 1024 |2
500, 512 |2
250, 256 |2
125, 128 |2
125, 64|2
125, 32 |2
125, 16 |2
125, 8 |2
125, 4 |2
125, 2 |2
125, 1 |5
25, 1 |5
5, 1 |5
1, 1 |
Zodra dat is gebeurd, vermenigvuldigt u de factoren die rechts van de verticale lijn worden gevonden:
2·2·2·2·2·2·2·2·2·2·5·5·5 = 210·53 = 128000
Voorbeeld 2: Bereken de MMC tussen 432 en 384:
432, 384 |2
216, 192 |2
108, 96 |2
54, 48 |2
27, 24 |2
27, 12 |2
27, 6 |2
27, 3 |3
9, 1 |3
3, 1 |3
1, 1 |
De MMC wordt: =
2·2·2·2·2·2·2·3·3·3 = 27·33 = 128·9 = 1152
Om de MMC van drie of meer getallen te berekenen, gebruikt u gewoon de praktische methode die hier wordt besproken, waarbij u al deze getallen naast elkaar plaatst.
Door Luiz Paulo Moreira
Afgestudeerd in wiskunde
