het begrip van sets is de belangrijkste basis voor de studie van algebra en concepten van groot belang in de wiskunde, zoals: functies en ongelijkheden. De notatie die we gebruiken voor sets is altijd een hoofdletter uit ons alfabet (bijvoorbeeld set A of set B).
Wat betreft weergave van sets, het kan worden gedaan door Venn diagramdoor simpelweg de kenmerken van de elementen te beschrijven, door de elementen op te sommen of door hun eigenschappen te beschrijven. Bij het werken met problemen waarbij sets betrokken zijn, zijn er situaties die de uitvoering van: bewerkingen tussen sets, zijnde de unie, de kruising en het verschil. Gaan we dit allemaal in detail bestuderen?
Zie ook: Numerieke uitdrukkingen - leer ze op te lossen!
Notatie en weergave van verzamelingen
Voor de weergave van een verzameling gebruiken we altijd a hoofdletter van het alfabet, en de elementen zijn altijd tussen sleutels en worden gescheiden door een komma. Om de verzameling even getallen groter dan 1 en kleiner dan 20 weer te geven, gebruiken we bijvoorbeeld de volgende notatie: P ={2,4,6,8,10,12,14,16,18}.
Vormen van representatie van verzamelingen
vertegenwoordiging door opsomming: we kunnen de elementen ervan opsommen, dat wil zeggen, een lijst maken, altijd tussen haakjes. Zie een voorbeeld:
A = {1,5,9,12,14,20}
beschrijving van de functies: we kunnen eenvoudig het kenmerk van de set beschrijven. Laat X bijvoorbeeld een verzameling zijn, we hebben dat X = {x is een positief veelvoud van 5}; Y: is de reeks maanden van het jaar.
Venn diagram: sets kunnen ook worden weergegeven in de vorm van een diagram, bekend als a Venn diagram, wat een efficiëntere weergave is voor het uitvoeren van bewerkingen.
Voorbeeld:
Gegeven de verzameling A = {1,2,3,4,5}, kunnen we deze weergeven in het volgende Venn-diagram:
Elementen van een set- en lidmaatschapsrelatie
Gegeven elk element, kunnen we zeggen dat het element behoort tot naar de set of er niet bij horen naar dat stel. Om deze lidmaatschapsrelatie sneller weer te geven, gebruiken we de symbolen
(lees als erbij horend) en ∉ (lees als erbij horend). Laat P bijvoorbeeld de verzameling zijn van paar nummers, kunnen we zeggen dat de 7 ∉ P en dat 12 P.
Niet stoppen nu... Er is meer na de reclame ;)
Gelijkheid van sets
Vergelijking tussen sets is onvermijdelijk, dus we kunnen zeggen dat twee sets gelijk zijn of niet, waarbij we elk van de elementen ervan controleren. Laat A = { 0,1,3,4,8} en B = { 8,4,3,1,0}, zelfs als de elementen in verschillende volgorde staan, kunnen we zeggen dat de verzamelingen A en B gelijk zijn: A = B.
inclusie relatie
Bij het vergelijken van twee sets kunnen we verschillende relaties tegenkomen, en een daarvan is de inclusierelatie. Voor deze relatie moeten we enkele symbolen kennen:
⊃ → bevat→ is ingesloten
⊅ → bevat geen→is niet ingesloten
Tip: De openingszijde van het symbool zal altijd naar de grotere set gericht zijn. |
Als alle elementen van een verzameling A ook tot een verzameling B behoren, zeggen we dat A ⊂ B of dat A in B zit. Bijvoorbeeld A={1,2,3} en B={1,2,3,4,5,6}. Het is ook mogelijk om de weergave uit te voeren door: Venn diagram, dat zou er zo uitzien:
A zit in B:
A B
subsets
Wanneer een inclusie relatie, dat wil zeggen dat de verzameling A zich in de verzameling B bevindt, kunnen we zeggen dat A een deelverzameling is van B. De deelverzameling blijft een verzameling, en a set kan meerdere subsets hebben, opgebouwd uit de elementen die erbij horen.
Bijvoorbeeld: A: {1,2,3,4,5,6,7,8} heeft als subsets de sets B: {1,2,3}; C: {1,3,5,7}; D: {1} en zelfs de verzameling A {1,2,3,4,5,6,7,8}, dat wil zeggen, A is een deelverzameling van zichzelf.
unitaire set
Zoals de naam al doet vermoeden, is het die set die heeft maar één element, zoals de eerder getoonde set D:{1}. Gegeven de verzameling B: {1,2,3}, hebben we de deelverzamelingen {1}, {2} en {3}, die allemaal eenhedenverzamelingen zijn.
AANDACHT: De verzameling E: {0} is ook een unitaire verzameling, omdat deze een enkel element heeft, "0", en het is geen lege verzameling.
Lees ook: Reeks gehele getallen - elementen en kenmerken
lege verzameling
Met een nog meer suggestieve naam heeft de lege set geen elementen en is het een subset van elke set. Om de lege verzameling weer te geven, zijn er twee mogelijke representaties, namelijk V: { } of het symbool Ø.
Onderdelensets
We kennen als verzamelingen van onderdelen alle mogelijke deelverzamelingen van een bepaalde verzameling. Laat A: {1,2,3,4}, we kunnen alle deelverzamelingen van deze verzameling A opsommen, te beginnen met de verzamelingen die hebben geen elementen (leeg) en dan die met een, twee, drie en vier elementen, respectievelijk.
lege verzameling: { };
Eenhedensets: {1}; {2};{3}; {4}.
Sets met twee elementen: {1,2}; {1,3}; {1,4}; {2,3}; {2,4}; {3,4}.
sets met drie elementen: {1,2,3}; {1,3,4}; {1,2,4}; {2,3,4}.
Set met vier elementen: {1,2,3,4}.
Daarom kunnen we de verzameling delen van A op deze manier beschrijven:
P: { { }, {1}, {2}, {3}, {4}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4 }, {3,4}, {1,2,3}, {1,3,4}, {1,2,4}, {2,3,4}, {1,2,3,4} }
Om erachter te komen hoeveel delen het mogelijk is om een set te delen, gebruiken we de formule:
n[P(A)] = 2Nee
Het aantal delen van A wordt berekend door a potentie basis 2 verhoogd tot Nee, op wat Nee is het aantal elementen in de set.
Beschouw de verzameling A: {1,2,3,4}, die vier elementen heeft. Het totaal van mogelijke deelverzamelingen van deze verzameling is 24 =16.
Lees ook: Wat is de verzameling irrationele getallen?
Eindige en oneindige verzameling
Als we met verzamelingen werken, vinden we verzamelingen die: beperkt (eindig) en degenen die zijn onbeperkt (oneindig). de set van even of oneven getallen, is bijvoorbeeld oneindig en om het weer te geven, beschrijven we enkele van zijn elementen in volgorde, zodat het mogelijk is om te voorspellen wat de volgende elementen zullen zijn, en we zetten ellipsen in de Laatste.
Ik: {1,3,5,7,9,11...}
P: {2,4,6,8,10, ...}
In een eindige verzameling plaatsen we de ellipsen echter niet aan het einde, omdat het een gedefinieerd begin en einde heeft.
EEN: {1,2,3,4}.
universum set
O universum set, aangeduid met u, wordt gedefinieerd als de verzameling die wordt gevormd door alle elementen die binnen een probleem moeten worden overwogen. Elk element behoort tot de universe-set en elke set is opgenomen in de universe-set.
Bewerkingen met sets
De bewerkingen met verzamelingen zijn: unie, intersectie en verschil.
Snijpunt van verzamelingen
Een snijpunt treedt op wanneer elementen tegelijkertijd tot een of meer verzamelingen behoren. Bij het schrijven van A∩B zoeken we naar elementen die zowel bij set A als bij set B horen.
Voorbeeld:
Beschouw A= {1,2,3,4,5,6} en B = {2,4,6,7,8}, de elementen die zowel bij set A als bij set B horen zijn: A∩B = { 2 ,4,6}. De weergave van deze operatie wordt als volgt gedaan:
A∩B
Wanneer sets geen elementen gemeen hebben, staan ze bekend als onsamenhangende verzamelingen.
A∩B = Ø
verschil tussen sets
Bereken de verschil tussen twee sets is om te zoeken naar elementen die bij slechts één van de twee sets horen. A – B heeft bijvoorbeeld als antwoord een verzameling die is samengesteld uit elementen die bij verzameling A horen en niet bij verzameling B.
Voorbeeld: A: {1,2,3,4,5,6} en B: {2,4,6,7,8}. Merk op dat A ∩ B ={2,4,6}, dus we hebben dat:
a) A - B = { 1,3,5 }
b) B – A = {7,8}
Eenheid
De vereniging van twee of meer sets is de toetreden tot uw voorwaarden. Als er elementen zijn die in beide sets worden herhaald, worden ze slechts één keer geschreven. Bijvoorbeeld: A={1,2,3,4,5} en B={4,5,6,7,10,14}. Om de unie weer te geven, gebruiken we het symbool (leest: Een unie met B).
A U B = {1,2,3,4,5,6,7,10,14}
Lees voor meer informatie over deze bewerkingen en om verschillende opgeloste oefeningen te bekijken: Bewerkingen met sets.
De wetten van Morgan
Laat A en B twee verzamelingen zijn en laat U de verzameling van het heelal zijn, er zijn twee eigenschappen die worden gegeven door de wetten van Morgan, namelijk:
(AUB)ç = Aç Bç
(A B)ç = Aç U Bç
Voorbeeld:
Gezien de sets:
U: {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20}
EEN: {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}
B: {5.10,15,20}
Laten we dat controleren (A U B)ç = Aç Bç. We moeten dus:
A U B = {2,4,5,6,8,10,12,14,15,16,18,20}
Daarom, (A U B)ç={1,3,7,9,11,13,17,19}
Laten we, om de juistheid van gelijkheid te controleren, bewerking A. analyserenç Bç:
DEç:{1,3,5,7,9,11,13,15,17,19}
Bç:{1,2,3,4,6,7,8,9,11,12,13,14,16,17,18,19}
Dan, DEç Bç ={1,3,7,9,11,13,15,17,19}.
(AUB)ç = Aç Bç
opgeloste oefeningen
01) Beschouw U: {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, A: {1,2,3,4,5,6} en B: {4,5,6, 7,8,9}. Laat zien dat (A ∩ B)ç = Aç U Bç.
Resolutie:
1e stap: vinden (A ∩ B)ç. Daarvoor hebben we dat A ∩ B = {4,5,6}, dus (A ∩ B)ç ={1,2,3,7,8,9,10}.
2e stap: vind eenç U Bç. DEç:{7,8,9,10} en Bç:{1,2,3,10}, dus Aç U Bç = {1,2,3,7,8,9,19}.
Er wordt aangetoond dat (A ∩ B)ç = Aç U Bç.
02) Wetende dat A de verzameling even getallen van 1 tot 20 is, wat is dan het totale aantal deelverzamelingen dat we kunnen bouwen uit de elementen van die verzameling?
Resolutie:
Laat P de beschreven verzameling zijn, we hebben die P: {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}. Daarom is het aantal elementen van P 10.
Volgens de verzameling van onderdelentheorie is het aantal mogelijke deelverzamelingen van P:
210=1024
Door Raul Rodrigues de Oliveira
Wiskundeleraar
(PUC-Rio-2009) In een school met 100 leerlingen, 80 houden van chocolade-ijs, 70 houden van roomijs en 60 houden van beide smaken. Hoeveel studenten houden niet van beide smaken?
(PUC) In een marktonderzoek werd vastgesteld dat 15 mensen minstens één van de producten A of B gebruiken. Wetende dat 10 van die mensen product B niet gebruiken en 2 van die mensen product A niet, hoeveel mensen gebruiken dan producten A en B?
