Aantal wortels van een vergelijking

Het oplossen van vergelijkingen is een dagelijkse bezigheid. Intuïtief lossen we vergelijkingen op in ons dagelijks leven en we beseffen het niet eens. Door de volgende vraag te stellen: "Hoe laat moet ik opstaan ​​om naar school te gaan, zodat ik niet?" te laat zijn?" en we krijgen het antwoord, we hebben eigenlijk net een vergelijking opgelost waarbij het onbekende de. is tijd. Deze alledaagse vragen hebben wiskundigen van alle tijden altijd aangezet bij het zoeken naar oplossingen en methoden om vergelijkingen op te lossen.
De formule van Baskara is een van de meest bekende methoden om een ​​vergelijking op te lossen. Het is een "recept", een wiskundig model dat vrijwel onmiddellijk de wortels van een tweedegraadsvergelijking levert. Interessant is dat er niet zoveel formules zijn voor het oplossen van vergelijkingen als je zou denken. Derde- en vierdegraadsvergelijkingen zijn erg ingewikkeld om op te lossen en er zijn oplossingsformules voor de eenvoudigste gevallen van dit soort vergelijkingen.

Het is interessant om te weten dat de graad van de vergelijking bepaalt hoeveel wortels het heeft. We weten dat een 2e graads vergelijking twee wortels heeft. Daarom heeft een vergelijking van de derde graad drie wortels, enzovoort. Laten we nu eens kijken naar wat er gebeurt met sommige vergelijkingen.
Voorbeeld. Los de vergelijkingen op:
a) x² + 3x – 4 = 0
Oplossing: Als we Baskara's formule toepassen voor het oplossen van een 2e graads vergelijking, krijgen we:

We weten dat a = 1, b= 3 en c = – 4. Dus,

Omdat we een vergelijking van de 2e graad oplossen, hebben we twee wortels.

b) x³ – 8 = 0
Oplossing: In dit geval hebben we een onvolledige derdegraadsvergelijking met een eenvoudige resolutie.

Oplossing: In dit geval hebben we een onvolledige vergelijking van de vierde graad, ook wel een bi-kwadraatvergelijking genoemd. De oplossing voor dit type vergelijking is ook eenvoudig. Kijken:
de x-vergelijking⁴ + 3x² – 4 = 0 kan als volgt worden herschreven:
(X²)² + 3x² – 4 =0
doen x² = t en substitueren in de bovenstaande vergelijking krijgen we:
t² + 3t – 4 = 0 → wat een 2e graads vergelijking is.
We kunnen deze vergelijking oplossen met de formule van Baskara.

Deze waarden zijn niet de wortels van de vergelijking, omdat de onbekende x is en niet t. Maar we moeten:
X² = t
Dan,
X² = 1 of x² = – 4
van x² = 1, krijgen we dat x = 1 of x = – 1.
van x² = – 4, krijgen we dat er geen reële getallen zijn die aan de vergelijking voldoen.
Daarom, S = {– 1, 1}
Merk op dat in het alternatief De we hadden een 2e graads vergelijking en we vonden twee wortels. In het alternatief B we lossen een 3e graads vergelijking op en vinden slechts één wortel. En de itemvergelijking ç, het was een vergelijking van de 4e graad en we vonden slechts twee wortels.
Zoals eerder vermeld, bepaalt de graad van de vergelijking hoeveel wortels het heeft:
Graad 2 → twee wortels
Graad 3 → drie wortels
Graad 4 → vier wortels
Maar wat is er gebeurd met de alternatieve vergelijkingen? B en ç?
Het blijkt dat een vergelijking van graad n ≥ 2 reële wortels en complexe wortels kan hebben. In het geval van de derdegraadsvergelijking van item b vinden we slechts één reële wortel, de andere twee wortels zijn complexe getallen. Hetzelfde geldt voor de vergelijking in item c: we vinden twee reële wortels, de andere twee zijn complex.
Over complexe wortels hebben we de volgende stelling.
Als het complexe getal a + bi, b ≠ 0, de wortel is van de vergelijking a₀X^Nee + de₁X^n-1+... + de_n-1x + a_Nee = 0, van reële coëfficiënten, dus zijn geconjugeerde, a – bi, is ook de wortel van de vergelijking.
De gevolgen van de stelling zijn:
• 2e graads vergelijking met reële coëfficiënten → heeft alleen reële wortels of twee geconjugeerde complexe wortels.
• 3e graads vergelijking met reële coëfficiënten → heeft alleen reële wortels of één reële wortel en twee geconjugeerde complexe wortels.
• Vergelijking van de 4e graad met reële coëfficiënten → heeft alleen reële wortels of twee complexe geconjugeerde wortels en twee reële of slechts vier complexe geconjugeerde wortels, twee aan twee.
• 5e graads vergelijking met reële coëfficiënten → heeft alleen echte wortels of twee complexe wortels geconjugeerde en de andere reële of ten minste één reële wortel en de andere complexe wortels, twee aan twee geconjugeerd.
Hetzelfde geldt voor vergelijkingen van graden groter dan 5.

Niet stoppen nu... Er is meer na de reclame ;)

Door Marcelo Rigonatto
Specialist in statistiek en wiskundige modellering
Brazilië School Team

Complexe getallen - Wiskunde - Brazilië School

Wil je naar deze tekst verwijzen in een school- of academisch werk? Kijken:

RIGONATTO, Marcelo. "Aantal wortels van een vergelijking"; Brazilië School. Beschikbaar in: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numero-raizes-uma-equacao.htm. Betreden op 29 juni 2021.