Zondenwet: toepassing, voorbeeld en oefeningen

DE wet der zonden bepaalt dat in elke driehoek de sinusrelatie van een hoek altijd evenredig is met de maat van de zijde tegenover die hoek.

Deze stelling toont aan dat in dezelfde driehoek de verhouding tussen de waarde van één zijde en de sinus van de overstaande hoek altijd zal zijn constante.

Dus, voor een driehoek ABC met zijden a, b, c, laat de Wet van Zonden de volgende relaties toe:

Vertegenwoordiging van de wetten van zonden in de driehoek

Voorbeeld

Laten we voor een beter begrip de maat van zijden AB en BC van deze driehoek berekenen als functie van maat b van zijde AC.

Volgens de wet van de sinussen kunnen we de volgende relatie vaststellen:

Dus AB = 0,816b en BC = 1,115b.

Opmerking: De waarden van sinussen werden geraadpleegd in tabel met goniometrische verhoudingen. Daarin kunnen we de waarden van de hoeken van 1º tot 90º van elke trigonometrische functie (sinus, cosinus en tangens) vinden.

De hoeken van 30º, 45º en 60º worden het meest gebruikt in trigonometrische berekeningen. Daarom worden ze opmerkelijke hoeken genoemd. Bekijk een tabel met de onderstaande waarden:

instagram story viewer

Trigonometrische relaties	30°	45°	60°
Sinus	1/2	√2/2	√3/2
cosinus	√3/2	√2/2	1/2
Raaklijn	√3/3	1	√3

Toepassing van de wet van zonden

We gebruiken de sinuswet in scherpe driehoeken, waarbij de interne hoeken kleiner zijn dan 90º (acuut); of in stompe driehoeken met interne hoeken groter dan 90º (stompe). In deze gevallen kunt u ook de cosinus wet.

Het belangrijkste doel van het gebruik van de wet van zonde of cosinus is om de afmetingen van de zijden van een driehoek en ook de hoeken ervan te ontdekken.

Weergave van driehoeken volgens hun interne hoeken

En de wet van zonden in de rechthoekige driehoek?

Zoals hierboven vermeld, wordt de wet van zonden gebruikt in zowel acute als stompe driehoeken.

In de rechthoekige driehoeken, gevormd door een interne hoek van 90º (recht), gebruikten we de stelling van Pythagoras en de relaties tussen zijn zijden: tegenoverliggende, aangrenzende zijde en hypotenusa.

Weergave van de rechthoekige driehoek en zijn zijden and

Deze stelling heeft de volgende verklaring: "de som van de kwadraten van je benen komt overeen met het kwadraat van je hypotenusa". De formule wordt uitgedrukt:

H² = ca²+ co²

Dus, als we een rechthoekige driehoek hebben, is de sinus de verhouding tussen de lengte van het andere been en de lengte van de hypotenusa:

Er staat tegenover op de hypotenusa.

De cosinus komt overeen met de verhouding tussen de lengte van het aangrenzende been en de lengte van de hypotenusa, weergegeven door de uitdrukking:

Het wordt gelezen naast de hypotenusa.

Toelatingsexamen Oefeningen

1.(UFPB) Het stadhuis van een bepaalde stad zal over een rivier die die stad doorkruist, een brug bouwen die recht moet zijn en twee punten, A en B, aan de tegenoverliggende oevers van de rivier moet verbinden. Om de afstand tussen deze punten te meten, plaatste een landmeter een derde punt, C, op 200 m afstand van punt A en op dezelfde oever van de rivier als punt A. Met behulp van een theodoliet (precisie-instrument voor het meten van horizontale hoeken en verticale hoeken, vaak gebruikt bij topografisch werk), merkte de landmeter op dat de hoeken B C met superscript logisch voegwoord A spatie en spatie C A met superscript logisch voegwoord B gemeten, respectievelijk 30º en 105º, zoals geïllustreerd in de volgende afbeelding.

Op basis van deze informatie is het juist om te stellen dat de afstand, in meters, van punt A naar punt B is:

a rechter haakje spatie 200 vierkantswortel van 2 eind spatie van wortel b rechter haakje spatie 180 vierkantswortel van 2 eind spatie van wortel c haakje rechter ruimte 150 vierkantswortel van 2 ruimte d rechter haakje ruimte 100 vierkantswortel van 2 ruimte en rechter haakje ruimte 50 vierkantswortel van 2

Zie antwoord

R e s p o st a spatie c o r r e t een dubbele punt spatie d spatie tussen haakjes rechts 100 vierkantswortel van 2

objectief: Bepaal de maat van AB.

Idee 1 - Wet van Zonden om AB. te bepalen

De figuur vormt driehoek ABC, waarbij de zijde AC 200 m meet en we twee bepaalde hoeken hebben.

de hoek zijn B met superscript logische conjunctie tegenover de zijde AC van 200 m en de hoek C tegenover de zijde AB, kunnen we AB bepalen via de zonden wet.

$teller A B over noemer s en n spatie 30 graden teken einde breuk spatie gelijk aan spatie teller A C over noemer s en n spatie begin stijl toon B met logisch voegwoord superscript eind stijl einde van fractie$

DE zonden wet bepaalt dat de verhoudingen tussen de afmetingen van de zijden en de sinussen van de overstaande hoeken, respectievelijk aan deze zijden, gelijk zijn in dezelfde driehoek.

Idee 2 - bepaal de hoek

De som van de binnenhoeken van een driehoek is 180°, dus we kunnen hoek B bepalen.

B + 105° + 30° = 180°
B = 180° - 105° - 30°
B = 45°

De waarde van Rep vervangen B met superscript logische conjunctie in de wet van sinussen en het maken van de berekeningen.

teller A B spatie over noemer s en n spatie 30 graden teken einde breuk spatie gelijk aan teller spatie A C over noemer spatie s en n spatie B einde van breuk teller A B spatie over noemer s en n spatie 30 graden teken einde van breuk spatie gelijk aan teller spatie A C over noemer spatie s e n spatie 45 graden teken einde van breuk teller A B spatie boven noemer beginstijl toon 1 half einde van stijl einde van breuk spatie gelijk aan teller spatie A C boven noemer spatie start stijl toon teller vierkantswortel van 2 boven noemer 2 einde van breuk einde van stijl einde van breuk 2 A B spatie gelijk aan teller 2 A C over noemer vierkantswortel van 2 einde van breuk A B spatie gelijk aan teller A C over noemer vierkantswortel van 2 einde van breuk

Merk op dat er een vierkantswortel in een noemer zit. Laten we deze wortel nemen door de rationalisatie uit te voeren, wat de vermenigvuldiging is van zowel de noemer als de teller van de breuk met de wortel zelf.

A B ruimte gelijk aan teller A C boven noemer vierkantswortel van 2 einde van breuk ruimte gelijk aan ruimte teller A C ruimte. vierkantswortelruimte van 2 boven noemer vierkantswortel van 2 ruimte. vierkantswortelruimte van 2 einde van breukruimte gelijk aan tellerruimte A C ruimte. ruimte vierkantswortel van 2 boven noemer vierkantswortel van 4 einde van breuk ruimte gelijk aan teller ruimte A C ruimte. vierkantswortelruimte van 2 boven noemer 2 einde van breuk

Als we de AC-waarde vervangen, hebben we:

A B spatie gelijk aan spatie teller 200 spatie. ruimte vierkantswortel van 2 boven noemer 2 einde van breuk ruimte gelijk aan ruimte 100 vierkantswortel van 2

Daarom is de afstand tussen de punten A en B 100 vierkantswortel van 2 m ruimte .

2. (Mackenzie – SP) Drie eilanden A, B en C verschijnen op een kaart op schaal 1:10000, zoals weergegeven in de afbeelding. Van de alternatieven is degene die de afstand tussen eilanden A en B het beste benadert:

a) 2,3 km
b) 2,1 km
c) 1,9 km
d) 1,4 km
e) 1,7 km

Zie antwoord

Juiste antwoord: e) 1,7 km

Doelstelling: Bepaal de maat van segment AB.

Idee 1: Gebruik de sinuswet om de maat van AB. te vinden

Wet van Zonden: De afmetingen van de zijden van een driehoek zijn evenredig met de sinussen van hun overstaande hoeken.

$teller 12 boven noemer s en n spatie 30 einde breuk spatie gelijk aan spatie teller A B over noemer spatie s en n spatie begin stijl toon C met logisch voegwoord superscript eind stijl einde van ruimtefractie$

Idee 2: bepaal de hoek

De som van de binnenhoeken van een driehoek is gelijk aan 180º.

30 + 105 + C = 180
135 + C = 180
C = 180 - 135
C = 45

Idee 3: Pas de waarde van C toe in de sinusregel

teller 12 boven noemer s en n spatie 30 einde breuk spatie gelijk aan spatie teller A B over noemer spatie s en n spatie start stijl toon 45 einde stijl einde breuk spatie 12 spatie. ruimte s en n ruimte 45 ruimte gelijk aan ruimte A B ruimte. spatie s en n spatie 30 12 spatie. ruimte teller vierkantswortel van 2 boven noemer 2 einde van breuk ruimte gelijk aan ruimte A B ruimte. spatie 1 middelste 6 vierkantswortel van 2 spatie gelijk aan teller A B boven noemer 2 einde van breuk 12 vierkantswortel van 2 spatie gelijk aan spatie A B

Idee 4: benader de vierkantswortelwaarde en gebruik de schaal

Maken vierkantswortel van 4 ongeveer gelijke ruimte 1 komma 4

12. 1,4 = 16,8

De schaal zegt 1:10000, vermenigvuldigd met:

16,8. 10000 = 168 000 cm

Idee 5: verplaatsen van cm naar km

168 000 cm / 100 000 = 1,68 km

Conclusie: Aangezien de berekende afstand 1,68 km is, is het dichtstbijzijnde alternatief de letter e.

Opmerking: om van cm naar km te gaan, delen we door 100 000 omdat we op de volgende schaal, van centimeters tot km, 5 plaatsen naar links tellen.

km -5- hm -4- dam -3- m -2- dm -1- cm mm

3. (Unifor-CE) Het is bekend dat in elke driehoek de maat van elke zijde recht evenredig is met de sinus van de hoek tegenover de zijde. Met behulp van deze informatie wordt geconcludeerd dat de maat van zijde AB van de onderstaande driehoek is:

a rechter haakje spatie 12 vierkantswortel van 6 spatie m b rechter haakje spatie 12 vierkantswortel van 3 spatie m c rechter haakje spatie 8 vierkantswortel van 6 m ruimte d rechter haakje ruimte 8 vierkantswortel van 3 m ruimte en rechter haakje ruimte 4 vierkantswortel van 6 m ruimte

Zie antwoord

R e s p o st een spatie c o r r e t een spatie met dubbele punt en spatie tussen haakjes rechts 4 vierkantswortel van 6 spatie m.

De verklaring geeft de wet van de sinussen.

teller 12 boven noemer s en n spatie 120 einde breuk spatie gelijk aan spatie teller A B boven noemer s en n spatie 45 einde breuk

Uit trigonometrie hebben we dat: sin 120 = sin 60.

De waarden in de formule vervangen:

$teller 12 boven noemer s en n spatie 120 einde breuk spatie gelijk aan spatie teller A B boven noemer s en n spatie 45 einde breuk teller 12 boven noemer beginstijl toon teller vierkantswortel van 3 boven noemer 2 einde van breuk einde van stijl einde van breuk spatie gelijk aan teller A B boven noemer beginstijl toon teller vierkantswortel van 2 boven noemer 2 einde van breuk einde van stijl einde van breuk 12 ruimte. ruimte teller vierkantswortel van 2 boven noemer 2 einde van breuk ruimte gelijk aan ruimte A B ruimte. tellerruimte vierkantswortel van 3 boven noemer 2 einde van breuk 12 vierkantswortel van 2 ruimte gelijk aan ruimte A B vierkantswortel van 3 A B ruimte gelijk aan ruimte 12 teller vierkantswortel van 2 boven noemer vierkantswortel van 3 einde van fractie$