Voor de berekening van determinanten van vierkante matrices met een orde kleiner dan of gelijk aan 3 (n≤3), hebben we enkele praktische regels om deze berekeningen uit te voeren. Wanneer de volgorde echter groter is dan 3 (n>3), zijn veel van deze regels niet van toepassing.
We zullen dus de stelling van Laplace zien, die, met behulp van het concept van de cofactor, de berekening van determinanten leidt tot regels die van toepassing zijn op alle vierkante matrices.
De stelling van Laplace bestaat uit het kiezen van een van de rijen (rij of kolom) van de matrix en het optellen van de producten van de elementen van die rij door hun respectieve cofactoren.
Algebraïsche illustratie:
Laten we een voorbeeld bekijken:
Bereken de determinant van matrix C met behulp van de stelling van Laplace:
Volgens de stelling van Laplace moeten we een rij (rij of kolom) kiezen om de determinant te berekenen. Laten we de eerste kolom gebruiken:
We moeten de cofactorwaarden vinden:
Dus, volgens de stelling van Laplace, wordt de determinant van matrix C gegeven door de volgende uitdrukking:
Niet stoppen nu... Er is meer na de reclame ;)
Merk op dat het niet nodig was om de cofactor van het matrixelement die gelijk was aan nul te berekenen, immers, als we de cofactor vermenigvuldigen, zou het resultaat sowieso nul zijn. Daarom, als we matrices tegenkomen met veel nullen in een van hun rijen, is de gebruik van de stelling van Laplace wordt interessant, omdat het niet nodig is om meerdere te berekenen cofactoren.
Laten we eens kijken naar een voorbeeld van dit feit:
Bereken de determinant van matrix B met behulp van de stelling van Laplace:
Merk op dat de tweede kolom de rij is met het grootste aantal nullen, dus we zullen deze rij gebruiken om de matrixdeterminant te berekenen via de stelling van Laplace.
Daarom, om de determinant van matrix B te bepalen, hoeft u alleen maar de cofactor A22 te vinden.
Daarom kunnen we de berekeningen van de determinant voltooien:
det B = (- 1). (- 65) = 65
Door Gabriel Alessandro de Oliveira
Afgestudeerd in wiskunde
Brazilië School Team
Wil je naar deze tekst verwijzen in een school- of academisch werk? Kijken:
OLIVEIRA, Gabriel Alessandro de. "Theorema van Laplace"; Brazilië School. Beschikbaar in: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-laplace.htm. Betreden op 29 juni 2021.
