We kennen als reële getallen alle rationale getallen en irrationeel. Door het bestuderen van de numerieke sets, is het belangrijk om te begrijpen dat ze de behoeften en geschiedenis van de mensheid volgen, de numerieke sets zijn:
- reeks natuurlijke getallen
- hele getallenreeks
- reeks rationale getallen
- reeks irrationele getallen
- set van reële getallen
U reële getallen hebben eigenschappen zoals: associatief, commutatief, bestaan van het neutrale element voor optellen en vermenigvuldigen, bestaan van een invers element bij vermenigvuldiging en distributief. de echte cijfers kan worden weergegeven op de echte lijn - hoe ze op een ordelijke manier te vertegenwoordigen.
Lees ook: Wat zijn priemgetallen?
Wat zijn de echte cijfers?
We kennen als reële getallen de verzameling gevormd door vereniging van rationale en irrationele getallen. Het is heel gewoon om ermee te werken, maar de reeks reële getallen was niet de eerste die in de geschiedenis verscheen.
natuurlijke cijfers
O eerste numerieke set
het werd gevormd door de natuurlijke getallen. Ze zijn gemaakt vanuit de basisbehoefte van mensen om te tellen en voorwerpen van hun dagelijks leven te tellen. U natuurlijke cijfers zij zijn:N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6...}
gehele getallen
Met de evolutie van de samenleving veranderden de verlangens van de mens en de moet werken met negatieve getallen. Bewerkingen zoals 4 – 6, die in de verzameling van natuurlijke getallen geen zin hadden, begonnen dit te doen met de opkomst van deze nieuwe verzameling. de set van hele getallen kwam met de toevoeging van negatieve getallen in de verzameling natuurlijke getallen, dat wil zeggen, het wordt gevormd door de natuurlijke getallen en het tegenovergestelde daarvan.
Z = {... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...}
rationele nummers
Het blijkt dat desondanks, met de toevoeging van negatieve getallen, de verzameling gehele getallen niet voldoende was, aangezien, aangezien de het oude Egypte, is het vrij gebruikelijk om getallen te gebruiken die geen gehele getallen zijn. Het was toen dat de noodzaak om een nieuwe verzameling te formaliseren werd gerealiseerd: de verzameling gevormd door allen getallen die kunnen worden weergegeven door een breuk staat bekend als rationale getallen.
In tegenstelling tot de verzameling gehele getallen, in de rationale het is niet mogelijk om een lijst van termen te schrijven met hun voorgangers en opvolgers, omdat, gezien de rationale getallen, er altijd een andere zal zijn rationaal getal tussen hen. Tussen 1 en 2 is er bijvoorbeeld 1,5; tussen 1 en 1,5 is er 1,25; enzovoorts. Daarom gebruiken we de volgende notatie om de rationale getallen weer te geven:
In deze notatie is het rationale getal het getal dat kan worden weergegeven door de breuk De onder B, op wat De is een geheel getal en B is een geheel getal dat niet nul is.
In de verzameling van rationale getallen, alle gehele getallen waren inbegrepen die al bekend waren, omdat ze allemaal kunnen worden weergegeven als een breuk, naast de exacte decimale getallen en de periodieke tienden, positief en negatief.
Zie ook: Wat zijn rangtelwoorden?
irrationele nummers
In tegenstelling tot de definitie van rationale getallen, zijn er getallen die niet als een breuk kunnen worden weergegeven. Sommige wiskundigen hebben ze in de tijd bestudeerd, in een poging om deze representatie te maken, maar het is niet mogelijk. Deze nummers zijn de niet-periodieke tienden en de wortels niet precies, die als resultaat niet-periodieke tienden genereren. Het getal π is bijvoorbeeld een irrationeel getal dat in het dagelijks leven heel gewoon is. De reeks irrationele getallen is niet lijstbaar, net als rationale getallen, en wordt weergegeven door de letter ik.
Voorbeelden:
- √2 → niet-exacte wortels zijn irrationele getallen;
- -√5 → wortels niet exact, zelfs als negatief irrationele getallen zijn;
- 3.123094921… → niet-periodieke decimalen zijn irrationele getallen.
echte getallen
Aangezien alle natuurlijke en gehele getallen als rationeel worden beschouwd, kunnen getallen tot nu toe ingedeeld in twee grote verzamelingen, de verzameling rationale getallen en de verzameling getallen irrationeel. De verzameling reële getallen is niets meer dan de vereniging van rationale en irrationele getallen.
R = {Q U I}
Tot nu toe worden alle getallen die we kennen reële getallen genoemd.
Bewerkingen met reële getallen
De bewerkingen met reële getallen zijn die welke bekend zijn voor alle voorgaande reeksen getallen. Zijn zij:
- toevoeging
- aftrekken
- divisie
- vermenigvuldiging
- potentiëring
- bestraling
Om een van deze bewerkingen tussen reële getallen uit te voeren, is er geen verschil met bewerkingen met eerdere getallen.
Gezien dergelijke operaties, is het ook belangrijk om te benadrukken dat: er zijn eigenschappen in de verzameling reële getallen.
Eigenschappen van reële getallen
Het is belangrijk om te begrijpen dat de eigenschappen van reële getallen zijn gevolgen van de definitie ervan en zijn handig voor het uitvoeren van bewerkingen. Zijn zij:
- bestaan van een neutraal element voor optellen en vermenigvuldigen
- Gemeenschappelijk eigendom
- associatief eigendom
- distributieve eigenschap
- bestaan van een inverse
neutraal element
Worden De een reëel getal.
Er is een nummer dat, toegevoegd aan De, resultaten op zich De:
De + 0 = De
0 is het neutrale element van de som..
Er is een getal dat, bij vermenigvuldiging met De, resultaten op zich De.
De · 1 = De
1 is het neutrale element van vermenigvuldiging.
Gemeenschappelijk eigendom
Worden De en B twee reële getallen.
Bij optellen of vermenigvuldigen verandert de volgorde van de getallen het resultaat niet.
De + B = B + De
a · b = b · a
associatief eigendom
Worden De, B en ç echte getallen.
Zowel bij optellen als vermenigvuldigen zijn de twee bediende getallen onverschillig voor elke volgorde.
(De + B) + ç = De + (B + ç)
(een · b) · ç = De· (b · c)
distributieve eigenschap
Worden De, B en ç echte getallen.
De distributieve eigenschap laat zien dat de product van de som is gelijk aan de som van de producten.
ç (a + b) = ca+cb
Bestaan van een inverse
Worden De een niet-nul reëel getal.
voor elk reëel getal De verschillend van nul, is er een nummer zodat het product binnenkomt De en dit getal is gelijk aan 1.
vertegenwoordiging op het rechte stuk
We kunnen de verzameling reële getallen in een lijn weergeven, aangezien er a. is welomschreven ordeningsprincipe voor hem. Deze weergave op de lijn staat bekend als de echte lijn of opnieuwhet is numeriek en het is heel gewoon, zelfs bij de studie van het cartesiaanse vlak.
Ook toegang: Wat is breuk?
opgeloste oefeningen
Vraag 1 - Beoordeel de volgende uitspraken:
I - Periodieke decimalen zijn reële getallen.
II - Elk reëel getal is rationaal of irrationeel.
III – Niet elk geheel getal is natuurlijk.
Door de uitspraken te analyseren, kunnen we zeggen dat:
A) alleen ik is onwaar.
B) alleen II is onwaar.
C) alleen III is onwaar.
D) ze zijn allemaal waar.
E) ze zijn allemaal onwaar.
Resolutie
Alternatief D.
I – Dat is waar, aangezien de tienden irrationele getallen zijn, zijn het dus reële getallen.
II – Dat is waar, aangezien de verzameling reële getallen de vereniging is van reële en irrationele getallen.
III – Waar, omdat negatieve getallen, zoals -2 en -5, gehele getallen zijn, maar niet natuurlijk.
Vraag 2 - Bekijk de volgende eigenschappen:
I - commutatieve eigenschap
II - distributieve eigenschap
III - associatieve eigenschap
Analyseer de volgende bewerkingen en markeer ze met het nummer van hun respectievelijke eigenschappen:
1 - ( ) 3 (2 + 5) = 6 + 15
2 - ( ) 5 · 4 = 4 · 5
3 - ( ) (2 + 4) + 1 = 2 + (4 + 1)
4 - ( ) 1 + 5 = 5 + 1
Welke van de alternatieven komt overeen met de juiste volgorde van eigenschappen:
A) II - I - III - I
B) I - III - III - II
C) III - II - III - III
D) II - I - III - II
E) II - III - II - I
Resolutie
Alternatief A.
1 - (II) In dit geval vond de distributieve eigenschap plaats, aangezien 3 werd vermenigvuldigd met elk van de factoren van de operatie.
2 - (I) In dit geval verandert de volgorde van de factoren niet het product, de commutativiteit van de vermenigvuldiging.
3 - (III) We hebben de associatieve eigenschap, omdat de volgorde waarin deze elementen worden toegevoegd de som niet verandert.
4 - (I) Ook hier hebben we commutativiteit, omdat de volgorde van de pakketjes de som niet verandert.
