Straling van complexe getallen in trigonometrische vorm

Bewerkingen met complexe getallen in trigonometrische vorm vergemakkelijken de berekening met de elementen van deze set. Vermenigvuldiging en deling van complexen die in trigonometrische vorm zijn, worden vrijwel onmiddellijk uitgevoerd, terwijl het proces in algebraïsche vorm meer berekeningen vereist. De potentiëring en bestraling van complexen in trigonometrische vorm worden ook vergemakkelijkt door het gebruik van de formules van Moivre. Laten we eens kijken hoe het rooten van deze nummers wordt uitgevoerd:
Beschouw elk complex getal z = a + bi. De trigonometrische vorm van z is:

De n-indexwortels van z worden gegeven door de tweede Moivre-formule:

Voorbeeld 1. Zoek de vierkantswortels van 2i.
Oplossing: Eerst moeten we het complexe getal in trigonometrische vorm schrijven.
Alle complexe getallen hebben de vorm z = a + bi. We moeten dus:

We weten ook dat:

Met de sinus- en cosinuswaarden kunnen we concluderen dat:

Dus de trigonometrische vorm van z = 2i is:

Laten we nu de vierkantswortels van z berekenen met de formule van Moivre.

Omdat we de vierkantswortels van z willen, krijgen we twee verschillende wortels z₀ en z₁.
Voor k = 0 hebben we

Voor k = 1 hebben we:

Of

Voorbeeld 2. Verkrijg de derdemachtswortels van z = 1∙(cosπ + i∙senπ)
Oplossing: Aangezien het complexe getal al in trigonometrische vorm is, gebruikt u gewoon de formule van Moivre. Uit de verklaring hebben we dat ø = π en |z| = 1. Dus,

We zullen drie verschillende wortels hebben, z₀, z₁ en z₂.
Voor k = 0

Voor k = 1

of zo₁ = – 1, aangezien cos π = – 1 en sin π = 0.
Voor k = 2

Niet stoppen nu... Er is meer na de reclame ;)

Door Marcelo Rigonatto
Specialist in statistiek en wiskundige modellering
Brazilië School Team

Complexe getallen - Wiskunde - Brazilië School

Wil je naar deze tekst verwijzen in een school- of academisch werk? Kijken:

RIGONATTO, Marcelo. "Straling van complexe getallen in trigonometrische vorm"; Brazilië School. Beschikbaar in: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/radiciacao-numeros-complexos-na-forma-trigonometrica.htm. Betreden op 29 juni 2021.