De vergelijking van de lijn kan worden bepaald door deze uit te zetten op het Cartesiaanse vlak (x, y). Als we de coördinaten kennen van twee verschillende punten die tot de lijn behoren, kunnen we de vergelijking bepalen.
Het is ook mogelijk om een vergelijking van de rechte lijn te definiëren op basis van zijn helling en de coördinaten van een punt dat daarbij hoort.
algemene vergelijking van de lijn
Twee punten definiëren een lijn. Op deze manier kunnen we de algemene vergelijking van de lijn vinden door twee punten uit te lijnen met een generiek punt (x, y) op de lijn.
Laat de punten A(xDeyyDe) en B(xByyB), niet samenvallend en behorend tot het cartesiaanse plan.
Drie punten zijn uitgelijnd wanneer de determinant van de matrix die bij die punten hoort, gelijk is aan nul. We moeten dus de determinant van de volgende matrix berekenen:
Als we de determinant ontwikkelen, vinden we de volgende vergelijking:
(yDe -yB) x + (xB - xDe) y + xDejaB - xBjaDe = 0
Laten we bellen:
een = (yDe -yB)
b = (xB - xDe)
c = xDejaB - xBjaDe
De algemene vergelijking van de rechte lijn wordt gedefinieerd als:
ax + door + c = 0
Waar De, B en ç zijn constant en De en B ze kunnen niet tegelijkertijd nul zijn.
Voorbeeld
Zoek een algemene vergelijking van de lijn die door de punten A(-1, 8) en B(-5, -1) gaat.
Eerst moeten we de driepuntsuitlijningsvoorwaarde schrijven, die de matrix definieert die is gekoppeld aan de gegeven punten en een generiek punt P(x, y) dat bij de lijn hoort.
Als we de determinant ontwikkelen, vinden we:
(8+1)x + (1-5)y + 40 + 1 = 0
De algemene vergelijking van de lijn die door de punten A(-1,8) en B(-5,-1) gaat is:
9x - 4y + 41 = 0
Lees voor meer informatie ook:
- Hoofdkwartier
- bepalend
- Stelling van Laplaceplace
Lijn gereduceerde vergelijking
Hoekcoëfficiënt
We kunnen een vergelijking van de lijn vinden r de helling (richting) kennen, dat wil zeggen, de waarde van de hoek θ die de lijn presenteert ten opzichte van de x-as.
Hiervoor koppelen we een nummer m, die de helling van de lijn wordt genoemd, zodat:
m = tg
de helling m het kan ook worden gevonden door twee punten te kennen die bij de rechte lijn horen.
Als m = tg θ, dan geldt:
Voorbeeld
Bepaal de helling van de lijn r, die door de punten A(1,4) en B(2,3) gaat.
Wezen,
X1 = 1 en y1 = 4
X2 = 2 en y2 = 3
De hoekcoëfficiënt van de lijn kennen m en een punt P0(X0yy0) erbij horen, kunnen we de vergelijking definiëren.
Hiervoor zullen we het bekende punt P in de hellingsformule vervangen.0 en een generiek punt P(x, y), ook behorend tot de lijn:
Voorbeeld
Bepaal een vergelijking van de lijn die door punt A(2,4) gaat en helling 3 heeft.
Om de vergelijking van de lijn te vinden, vervangt u gewoon de gegeven waarden:
y - 4 = 3 (x - 2)
y - 4 = 3x - 6
-3x + y + 2 = 0
lineaire coëfficiënt
de lineaire coëfficiënt Nee Rechtdoor r wordt gedefinieerd als het punt waar de lijn de y-as snijdt, dat wil zeggen het punt van de coördinaten P(0,n).
Met behulp van dit punt hebben we:
y - n = m (x - 0)
y = mx + n (Gereduceerde lijnvergelijking).
Voorbeeld
Wetende dat de vergelijking van de lijn r wordt gegeven door y = x + 5, identificeer dan de helling, de helling en het punt waar de lijn de y-as snijdt.
Omdat we de gereduceerde vergelijking van de lijn hebben, geldt:
m = 1
Waarbij m = tg θ ⇒ tg θ = 1 ⇒ θ = 45º
Het snijpunt van de lijn met de y-as is het punt P(0,n), waarbij n=5, dan is het punt P(0.5)
Lees ook Berekening van helling
Lijnsegmentvergelijking
We kunnen de helling berekenen met behulp van het punt A(a, 0) dat de lijn de x-as snijdt en het punt B(0,b) dat de y-as snijdt:
Als we n = b beschouwen en in gereduceerde vorm substitueren, hebben we:
Als we alle leden delen door ab, vinden we de segmentaire vergelijking van de lijn:
Voorbeeld
Schrijf, in segmentvorm, de vergelijking van de lijn die door punt A(5.0) gaat en helling 2 heeft.
Laten we eerst het punt B(0,b) zoeken, substituerend in de hellinguitdrukking:
Als we de waarden in de vergelijking vervangen, hebben we de segmentaire vergelijking van de lijn:
Lees ook over:
- cartesiaans plan
- Afstand tussen twee punten
- conisch
- Rechtdoor
- Parallelle lijnen
- Evenwijdige lijnen
- Lijnstuk
- Lineaire functie
- Affine functie
- Gerelateerde functie-oefeningen
Opgelost Oefeningen
1) Gegeven de lijn met de vergelijking 2x + 4y = 9, bepaal de helling ervan.
4j = - 2x + 9
y = - 2/4 x + 9/4
y = - 1/2 x + 9/4
Daarom m = - 1/2
2) Schrijf de vergelijking van de lijn 3x + 9y - 36 = 0 in gereduceerde vorm.
y = -1/3 x + 4
3) ENEM - 2016
Voor een wetenschapsbeurs worden twee raketprojectielen, A en B, gebouwd om te worden gelanceerd. Het plan is om ze samen te lanceren, met als doel dat projectiel B A onderschept wanneer het zijn maximale hoogte bereikt. Om dit te laten gebeuren, zal een van de projectielen een parabolische baan beschrijven, terwijl de andere een zogenaamd rechte baan zal beschrijven. De grafiek toont de hoogten die deze projectielen bereikten als functie van de tijd, in de uitgevoerde simulaties.
Op basis van deze simulaties werd waargenomen dat de baan van projectiel B moet worden gewijzigd zodat de
doel werd bereikt.
Om het doel te bereiken, moet de hoekcoëfficiënt van de lijn die het traject van B voorstelt
a) verminderen met 2 eenheden.
b) verminderen met 4 eenheden.
c) verhogen met 2 eenheden.
d) verhogen met 4 eenheden.
e) verhogen met 8 eenheden.
Eerst moeten we de beginwaarde van de helling van de lijn B vinden.
Onthoud dat m = tg Ɵ, we hebben:
m1 = 12/6 = 2
Om door het maximale hoogtepunt van de baan van A te gaan, moet de helling van lijn B de volgende waarde hebben:
m2 = 16/4 = 4
De helling van lijn B zal dus moeten veranderen van 2 naar 4, daarna zal deze met 2 eenheden toenemen.
Alternatief c: 2 eenheden verhogen
Zie ook: Oefeningen over analytische meetkunde
