Euler's relatie is een gelijkheid die het aantal hoekpunten, randen en vlakken in convexe veelvlakken relateert. Er staat dat het aantal vlakken plus het aantal hoekpunten gelijk is aan het aantal randen plus twee.
De Euler-relatie wordt gegeven door:
Waar,
F is het aantal gezichten,
V het aantal hoekpunten,
DE het aantal randen.
We kunnen de relatie van Euler gebruiken om onbekende waarden van V, F of A te bepalen of te bevestigen, wanneer het veelvlak convex is.
| veelvlak | F | V | DE | F+V | A + 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| Kubus | 6 | 8 | 12 | 6 + 8 = 14 | 12 + 2 = 14 |
| driehoekige piramide | 4 | 4 | 6 | 4 + 4 = 8 | 6 + 2 = 8 |
| Vijfhoekig basisprisma | 7 | 10 | 15 | 7 + 10 = 17 | 15 + 2 = 17 |
| regelmatige octaëder | 8 | 6 | 12 | 8 + 6 = 14 | 12 + 2 = 14 |
Voorbeeld
Een convex veelvlak heeft 20 vlakken en 12 hoekpunten. Bepaal het aantal randen.
De relatie van Euler gebruiken en A isoleren:
Vervanging van de waarden van F en V:
Gezichten, hoekpunten en randen
Veelvlakken zijn solide, driedimensionale geometrische vormen zonder afgeronde zijden. Deze zijden zijn de vlakken (F) van het veelvlak.
De ontmoeting van de vlakken noemen we randen (A).
Vertices zijn de punten waar drie of meer randen samenkomen.
convexe veelvlakken
Convexe veelvlakken zijn geometrische vaste stoffen die geen concaafheid vertonen, daarom zijn er op geen van hun vlakken interne hoeken groter dan 180º.
In dit veelvlak heeft de in blauw gemarkeerde interne hoek meer dan 180º, dus het is geen convex veelvlak.
Zie meer over veelvlakken.
Oefeningen over de relatie van Euler
Oefening 1
Zoek het aantal vlakken in een veelvlak met 9 randen en 6 hoekpunten.
Correct antwoord: 5 gezichten.
De relatie van Euler gebruiken:
F + V = EEN + 2
F = A + 2 - V
F = 9 + 2 - 6
F = 11 - 6
F = 5
Oefening 2
Een dodecaëder is een platonische vaste stof met 12 vlakken. Wetende dat het 20 hoekpunten heeft, bepaal dan het aantal randen.
Correct antwoord:
De relatie van Euler gebruiken:
F + V = EEN + 2
F + V - 2 = A
12 + 20 - 2 = A
32 - 2 = A
30 = A
Oefening 3
Wat is de naam van het veelvlak met 4 hoekpunten en 6 randen in verhouding tot het aantal vlakken, waarbij de vlakken driehoeken zijn?
Antwoord: Tetraëder.
We moeten het aantal gezichten bepalen.
F + V = EEN + 2
F = A + 2 - V
F = 6 + 2 - 4
F = 8 - 4
F = 4
Een veelvlak met 4 vlakken in de vorm van driehoeken wordt een tetraëder genoemd.
Wie was Leonhard Paul Euler?
Leonhard Paul Euler (1707-1783) was een van de meest bekwame wiskundigen en natuurkundigen in de geschiedenis, en droeg ook bij aan astronomiestudies. Duitstalige Zwitser, was hoogleraar natuurkunde aan de Academie van Wetenschappen van Sint-Petersburg en later aan de Academie van Berlijn. Hij heeft verschillende studies over wiskunde gepubliceerd.
Leer ook:
- geometrische vaste stoffen
- Ruimtelijke geometrie
- Geometrische vormen
- Prisma - Geometrische figuur
- Piramide
- Straatsteen
- Kubus
