Analytische meetkunde bestudeert geometrische elementen in een coördinatensysteem in een vlak of ruimte. Deze geometrische objecten worden bepaald door hun locatie en positie ten opzichte van punten en assen van dit oriëntatiesysteem.
Sinds oude volkeren, zoals de Egyptenaren en Romeinen, is het idee van coördinaten al in de geschiedenis verschenen. Maar het was in de 17e eeuw, met de werken van René Descartes en Pierre de Fermat, dat dit gebied van wiskunde werd gesystematiseerd.
Cartesisch orthogonaal systeem
Het orthogonaal cartesiaanse systeem is een referentiebasis voor het lokaliseren van coördinaten. Het wordt in een vlak gevormd door twee loodrecht op elkaar staande assen.
- De O(0,0) oorsprong van dit systeem is het snijpunt van deze assen.
- De x-as is de abscis.
- De y-as is de ordinaat.
- De vier kwadranten zijn tegen de klok in gericht.
Besteld paar
Elk punt op het vlak heeft de coördinaat P(x, y).
x is de abscis van punt P en vormt de afstand van zijn orthogonale projectie op de x-as tot de oorsprong.
y is de ordinaat van punt P en is de afstand van zijn orthogonale projectie op de y-as tot de oorsprong.
afstand tussen twee punten
De afstand tussen twee punten op het Cartesiaanse vlak is de lengte van het segment dat deze twee punten verbindt.
Afstand tussen twee punten formule en
ieder.
middelpunt coördinaten
Middelpunt is het punt dat een segment in twee gelijke delen verdeelt.
Wezen het middelpunt van een segment
, de coördinaten zijn de rekenkundige gemiddelden van de abscis en ordinaat.
en
Driepunts uitlijningsconditie
Gezien de punten: .
Deze drie punten worden uitgelijnd als de determinant van de volgende matrix gelijk is aan nul.
Voorbeeld
Hoekcoëfficiënt van een lijn
de helling van een rechte lijn is de tangens van zijn helling
ten opzichte van de x-as.
Om de helling van twee punten te verkrijgen:
Als m > 0, is de lijn stijgend, anders, als m < 0, is de lijn dalend.
algemene vergelijking van de lijn
Waar De,B en C zijn constante reële getallen en, De en B ze zijn niet tegelijkertijd nul.
Voorbeeld
Lijnvergelijking die een punt en de helling kent
een punt gegeven en de helling
.
De vergelijking van de lijn zal zijn:
Voorbeeld
Gereduceerde vorm van de rechte vergelijking
Waar:
m is de helling;
n is de lineaire coëfficiënt.
Nee is geordend waar de lijn de y-as snijdt.
Voorbeeld
Kijk Lijnvergelijking.
Relatieve positie tussen twee evenwijdige lijnen in een vlak
Twee verschillende lijnen zijn evenwijdig als hun hellingen gelijk zijn.
als een hetero R heeft helling , en een rechte s heeft helling
, deze zijn parallel wanneer:
Hiervoor moeten uw neigingen gelijk zijn.
Raaklijnen zijn gelijk als hoeken gelijk zijn.
Relatieve positie tussen twee concurrerende rechte lijnen in een vlak
Twee lijnen zijn gelijktijdig wanneer hun hellingen verschillend zijn.
Op hun beurt verschillen de hellingen wanneer hun hellingshoeken ten opzichte van de x-as verschillend zijn.
evenwijdige lijnen
Twee restanten staan loodrecht als het product van hun hellingen gelijk is aan -1.
twee rechte stukken R en s, apart, met hellingen en
, zijn loodrecht als, en alleen als:
of
Een andere manier om te weten of twee lijnen loodrecht staan, is aan de hand van hun vergelijkingen in algemene vorm.
De vergelijkingen van de lijnen r en s zijn:
Twee lijnen loodrecht daarop wanneer:
Kijk Evenwijdige lijnen.
Omtrek
Omtrek is de meetkundige plaats op het vlak waar alle punten P(x, y) dezelfde afstand hebben R vanuit het middelpunt C(a, b), waarbij R is de maat voor de straal.
Omtrekvergelijking in gereduceerde vorm
Waar:
R is de straal, de afstand tussen een willekeurig punt op uw boog en het midden. C.
De en B zijn de coördinaten van het centrum C.
algemene vergelijking van de cirkel
Het wordt verkregen door de kwadratische termen van de gereduceerde vergelijking van de omtrek te ontwikkelen.
Het is heel gebruikelijk om de algemene vorm van de omtrekvergelijking in oefeningen te tonen, ook wel de normaalvorm genoemd.
conisch
Het woord kegelsnede komt van een kegel en verwijst naar de krommen die worden verkregen door deze in stukken te snijden. Ellips, hyperbool en parabool zijn krommen die kegelsnede worden genoemd.
Ovaal
Ellips is een gesloten kromme die wordt verkregen door een rechte cirkelvormige kegel te snijden door een vlak schuin op de as, dat niet door het hoekpunt gaat en niet evenwijdig is aan zijn beschrijvende lijnen.
In een vlak is de verzameling van alle punten waarvan de som van de afstanden tot twee interne vaste punten constant is.
Ellips elementen:
- F1 en F2 zijn de brandpunten van de ellips;
- 2c is de brandpuntsafstand van de ellips. Het is de afstand tussen F1 en F2;
- Het punt O het is het midden van de ellips. Het is het middelpunt tussen F1 en F2;
- A1 en A2 zijn de hoekpunten van de ellips;
- het segment
hoofdas en gelijk aan 2a.
- het segment
korte as is gelijk aan 2b.
- Excentriciteit
waarbij 0 < en < 1.
Gereduceerde ellipsvergelijking
Beschouw een punt P(x, y) in de ellips waar x de abscis is en y de ordinaat van dit punt.
Middelpunt van de ellips bij de oorsprong van het coördinatensysteem en hoofdas (AA) op de x-as.
Middelpunt van de ellips bij de oorsprong van het coördinatensysteem en hoofdas (AA) op de y-as.
Gereduceerde vergelijking van de ellips met assen evenwijdig aan de coördinaatassen
een punt overwegen als de oorsprong van het cartesiaanse systeem en, een punt
als het middelpunt van de ellips.
AA hoofdas, evenwijdig aan de x-as.
AA hoofdas, evenwijdig aan de y-as.
Hyperbool
Hyperbool is een verzameling punten op een vlak waar het verschil tussen twee vaste punten F1 en F2 resulteert in een constante, positieve waarde.
Elementen van hyperbool:
- F1 en F2 zijn de brandpunten van hyperbool.
- 2c =
is de brandpuntsafstand.
- Centrum van hyperbool is het punt O, F1F2-segmentgemiddelde.
- A1 en A2 zijn de hoekpunten.
- 2a = A1A2 is de reële of dwarsas.
- 2b = B1B2 is de denkbeeldige of geconjugeerde as.
-
is de excentriciteit.
Door driehoek B1OA2
Hyperbool gereduceerde vergelijking
Met reële as om x-as en middelpunt bij oorsprong.
Met reële as op y-as en middelpunt in oorsprong.
Hyperboolvergelijking met assen parallel aan coördinaatassen
AA reële as evenwijdig aan x-as en midden .
Echte as AA evenwijdig aan y-as en midden .
Gelijkenis
Parabool is de meetkundige plaats waar de verzameling punten P(x, y) op dezelfde afstand liggen van een vast punt F en een lijn d.
Elementen van de gelijkenis:
- F is de focus van de gelijkenis;
- d is de rechte richtlijn;
- Symmetrie-as is de rechte lijn door focus F en loodrecht op de richtlijn.
- V is het hoekpunt van de parabool.
- p is het segment van dezelfde lengte tussen focus F en hoekpunt V e, tussen hoekpunt en richtlijn d.
Gereduceerde vergelijkingen van de parabool
Met hoekpunt op de oorsprong en symmetrie-as op de y-as.
Indien p>0 concaafheid naar boven.
Als p<0 neerwaartse holte.
Met hoekpunt op de oorsprong en symmetrie-as op de x-as.
Als p>0 holte naar rechts.
Als p<0 holte naar links.
Met symmetrie-as evenwijdig aan y-as en hoekpunt .
Met symmetrie-as evenwijdig aan de x-as en hoekpunt .
oefenen met Oefeningen over analytische meetkunde.
Meer informatie op:
cartesiaans plan
afstand tussen twee punten
conisch
Berekening van hoekcoëfficiënt
