Cosinuswet: toepassing, voorbeelden en oefeningen

DE cosinus wet wordt gebruikt om de maat van een zijde of een onbekende hoek van een driehoek te berekenen, de andere maten kennende.

Verklaring en formules

De cosinusstelling stelt dat:

"In elke driehoek is het vierkant aan de ene kant de som van de vierkanten aan de andere twee zijden, minus tweemaal het product van die twee zijden door de cosinus van de hoek ertussen.."

Dus volgens de cosinusregel hebben we de volgende relaties tussen de zijden en hoeken van een driehoek:

Voorbeelden

1. Twee zijden van een driehoek meten 20 cm en 12 cm en vormen daartussen een hoek van 120°. Bereken de afmeting van de derde zijde.

Oplossing

Om de maat van de derde zijde te berekenen, gebruiken we de cosinusregel. Laten we hiervoor overwegen:

b = 20 cm
c = 12 cm
cos α = cos 120º = - 0,5 (waarde gevonden in goniometrische tabellen).

Deze waarden vervangen in de formule:

De² = 20² + 12² - 2. 20. 12. (- 0,5)
De² = 400 + 144 + 240
De² = 784
a = √784
a = 28 cm

Dus de derde kant maatregelen 28 cm.

2. Bepaal de maat van de zijde AC en de maat van de hoek met hoekpunt bij A uit de volgende figuur:

Laten we eerst AC = b bepalen:

B² = 8² + 10² – 2. 8. 10. voor de 50e
B² = 164 – 160. voor de 50e
B² = 164 – 160. 0,64279
b ≈ 7.82

Laten we nu de hoekmaat bepalen door de cosinusregel:

8² = 10² + 7,82² – 2. 10. 7,82. omdat
64 = 161.1524 – 156,4 cos
cos  = 0,62
 = 52º

Opmerking: Om de waarden van de cosinushoeken te vinden gebruiken we de Goniometrische tabel. Daarin hebben we de waarden van hoeken van 1º tot 90º voor elke trigonometrische functie (sinus, cosinus en tangens).

Toepassing

De cosinuswet kan op elke driehoek worden toegepast. Of het nu een scherpe hoek is (binnenhoeken kleiner dan 90 °), stomphoekig (met een binnenhoek groter dan 90 °) of rechthoekig (met een binnenhoek gelijk aan 90 °).

Weergave van driehoeken in termen van hun interne hoeken

Hoe zit het met de rechthoekige driehoeken?

Laten we de cosinusregel toepassen op de zijde tegenover de hoek van 90°, zoals hieronder aangegeven:

De² = b² + c² - 2. B. ç. cos 90º

Aangezien cos 90º = 0, wordt de bovenstaande uitdrukking:

De² = b² + c²

Wat hetzelfde is als de uitdrukking van de stelling van Pythagoras. We kunnen dus zeggen dat deze stelling een specifiek geval is van de cosinusregel.

De cosinuswet is geschikt voor problemen waarbij we twee zijden kennen en de hoek ertussen en we willen de derde zijde vinden.

We kunnen het nog steeds gebruiken als we de drie zijden van de driehoek kennen en een van zijn hoeken willen weten.

Voor situaties waarin we twee hoeken en slechts één zijde kennen en een andere zijde willen bepalen, is het handiger om de te gebruiken wet der zonden.

Definitie van cosinus en sinus

De cosinus en sinus van een hoek worden gedefinieerd als trigonometrische verhoudingen in een rechthoekige driehoek. De zijde tegenover de rechte hoek (90º) wordt de hypotenusa genoemd en de andere twee zijden worden de benen genoemd, zoals weergegeven in de onderstaande afbeelding:

Weergave van de rechthoekige driehoek en zijn zijden: heupen en hypotenusa

Cosinus wordt dan gedefinieerd als de verhouding tussen de meting van de aangrenzende zijde en de hypotenusa:

De sinus daarentegen is de verhouding tussen de meting van het andere been en de hypotenusa.

Toelatingsexamen Oefeningen

1. (UFSCar) Als de zijden van een driehoek x, x + 1 en x +2 meten, dan is voor elke X reëel en groter dan 1, de cosinus van de grootste binnenhoek van deze driehoek is gelijk aan:

a) x / x + 1
b) x / x + 2
c) x + 1 / x + 2
d) x – 2/3x
e) x – 3/2x

Zie antwoord

Alternatief e) x – 3 / 2x

2. (UFRS) In de driehoek weergegeven in onderstaande figuur hebben AB en AC dezelfde maat en is de hoogte ten opzichte van de zijde BC gelijk aan 2/3 van de maat BC.

Op basis van deze gegevens is de cosinus van hoek CÂB:

a) 7/25
b) 7/20
c) 4/5
d) 5/7
e) 5/6

Zie antwoord

Alternatief a) 7/25

3. (UF-Juiz de Fora) Twee zijden van een driehoek meten 8 m en 10 m en vormen een hoek van 60°. De derde zijde van deze driehoek meet:

a) 2√21 m
b) 2√31 m
c) 2√41 m
d) 2√51 m
e) 2√61 m

Zie antwoord

Alternatief a) 2√21 m

Lees meer over het onderwerp:

• Trigonometrie
• Trigonometrie in de rechthoekdriehoek
• Trigonometrie-oefeningen in de rechterdriehoek
• Trigonometrische relaties
• Trigonometrische cirkel
• Goniometrische functies