Exponentiële functie: 5 oefeningen met commentaar

DE exponentiële functie is elke functie van ℝ in ℝ^*_+, gedefinieerd door f(x) = a^X, waarbij a een reëel getal is, groter dan nul en niet gelijk aan 1.

Maak gebruik van de oefeningen die zijn becommentarieerd om al je twijfels over deze inhoud weg te nemen en controleer je kennis in de opgeloste vragen van wedstrijden.

Oefeningen met commentaar Exercise

Oefening 1

Een groep biologen bestudeert de ontwikkeling van een bepaalde kolonie bacteriën en ontdekte dat onder ideale omstandigheden het aantal bacteriën kan worden gevonden via de uitdrukking N(t) = 2000. 2^0,5t, zijnde t in uren.

Gezien deze omstandigheden, hoe lang na het begin van de waarneming zal het aantal bacteriën gelijk zijn aan 8192000?

Oplossing

In de voorgestelde situatie kennen we het aantal bacteriën, dat wil zeggen, we weten dat N(t) = 8192000 en we willen de waarde van t vinden. Vervang deze waarde dus gewoon in de gegeven uitdrukking:

Om deze vergelijking op te lossen, schrijven we het getal 4096 in priemfactoren, want als we hetzelfde grondtal hebben, kunnen we de exponenten evenaren. Daarom hebben we, als we het getal ontbinden,

De kweek zal dus 8 192 000 bacteriën bevatten na 1 dag (24 uur) vanaf het begin van de waarneming.

Oefening 2

Radioactieve materialen hebben de natuurlijke neiging om na verloop van tijd hun radioactieve massa te desintegreren. De tijd die nodig is om de helft van zijn radioactieve massa te desintegreren, wordt de halfwaardetijd genoemd.

De hoeveelheid radioactief materiaal van een bepaald element wordt gegeven door:

Wezen,

N(t): de hoeveelheid radioactief materiaal (in grammen) in een bepaalde tijd.
nee₀: de aanvankelijke hoeveelheid materiaal (in grammen)
T: halfwaardetijd (in jaren)
t: tijd (in jaren)

Aangezien de halfwaardetijd van dit element gelijk is aan 28 jaar, moet u de tijd bepalen die nodig is voor het radioactieve materiaal om te verminderen tot 25% van de oorspronkelijke hoeveelheid.

Oplossing

Voor de voorgestelde situatie A(t) = 0.25 A₀ = 1/4 A₀, zodat we de gegeven uitdrukking kunnen schrijven, T vervangen door 28 jaar, dan:

Daarom duurt het 56 jaar voordat de hoeveelheid radioactief materiaal met 25% is verminderd.

Wedstrijdvragen

1) Unesp - 2018

Ibuprofen is een voorgeschreven medicijn tegen pijn en koorts, met een halfwaardetijd van ongeveer 2 uur. Dit betekent dat na bijvoorbeeld 2 uur inname van 200 mg ibuprofen er nog maar 100 mg van de medicatie in de bloedbaan van de patiënt achterblijft. Na nog eens 2 uur (4 uur in totaal) blijft er nog maar 50 mg over in de bloedbaan enzovoort. Als een patiënt elke 6 uur 800 mg ibuprofen krijgt, zal de hoeveelheid van dit medicijn die het 14e uur na inname van de eerste dosis in de bloedbaan blijft

a) 12,50 mg
b) 456,25 mg
c) 114,28 mg
d) 6,25 mg
e) 537,50 mg

Zie antwoord

Aangezien de aanvankelijke hoeveelheid medicatie in de bloedbaan om de 2 uur wordt gehalveerd, kunnen we deze situatie weergeven aan de hand van het volgende schema:

Merk op dat de exponent in elke situatie gelijk is aan de tijd gedeeld door 2. We kunnen dus de hoeveelheid medicatie in de bloedbaan definiëren als een functie van de tijd, met behulp van de volgende uitdrukking:

Wezen

Q(t): de hoeveelheid in een bepaald uur
Vraag₀: het aanvankelijk ingenomen bedrag
t: tijd in uren

Aangezien elke 6 uur 800 mg ibuprofen werd ingenomen, hebben we:

Om de hoeveelheid medicatie in de bloedbaan 14 uur na inname van de 1e dosis te vinden, moeten we de hoeveelheden optellen die verwijzen naar de 1e, 2e en 3e dosis. Als we deze hoeveelheden berekenen, hebben we:

De hoeveelheid van de 1e dosis zal worden gevonden als de tijd gelijk is aan 14 uur, dus we hebben:

Voor de tweede dosis, zoals weergegeven in het bovenstaande diagram, was de tijd 8 uur. Als we deze waarde vervangen, hebben we:

De tijd voor de 3e dosis is slechts 2 uur. De hoeveelheid gerelateerd aan de 3e dosis is dan:

Nu we de hoeveelheden voor elke ingenomen dosis kennen, kunnen we de totale hoeveelheid vinden door elk van de gevonden hoeveelheden toe te voegen:

Vraag_totaal= 6,25 + 50 + 400 = 456,25 mg

Alternatief b) 456,25 mg

2) UERJ - 2013

Een meer dat werd gebruikt om een ​​stad van water te voorzien, was besmet na een industrieel ongeval en bereikte het toxiciteitsniveau T₀, wat overeenkomt met tien keer het oorspronkelijke niveau.
Lees onderstaande informatie.

• Door de natuurlijke stroom van het meer kan elke tien dagen 50% van het volume worden ververst.
• Het toxiciteitsniveau T(x), na x dagen na het ongeval, kan worden berekend met behulp van de volgende vergelijking:

Beschouw D als het kleinste aantal dagen van onderbreking van de watertoevoer dat nodig is om de toxiciteit terug te brengen naar het oorspronkelijke niveau.
Als log 2 = 0,3 is de waarde van D gelijk aan:

a) 30
b) 32
c) 34
d) 36

Zie antwoord

Om terug te keren naar het oorspronkelijke toxiciteitsniveau is het noodzakelijk dat:

Als we deze waarde in de gegeven functie substitueren, hebben we:

Vermenigvuldigen met "kruis", wordt de vergelijking:

2 ^0,1x= 10

Laten we de logaritme met grondtal 10 op beide zijden toepassen om er een 1e graads vergelijking van te maken:

logboek (2^0,1x) = logboek 10

Onthoud dat de log van 10 in grondtal 10 gelijk is aan 1, onze vergelijking ziet er als volgt uit:

0,1x. logboek 2 = 1

Gezien het feit dat log 2 = 0,3 en deze waarde in de vergelijking vervangt:

Het kleinste aantal dagen dat de levering moet worden opgeschort, is ongeveer 34 dagen.

Alternatief c) 34

3) Fuvesp - 2018

Zij f: ℝ → ℝ en g: ℝ₊ →ℝ gedefinieerd door

respectievelijk.

De grafiek van de samengestelde functie g_ºgeloof:

Zie antwoord

De grafiek die je zoekt is de samengestelde functie g_ºf, daarom is de eerste stap om deze functie te bepalen. Hiervoor moeten we de functie f (x) vervangen in de x van de functie g (x). Door deze vervanging te maken, zullen we vinden:

Met behulp van de logaritme-eigenschap van het quotiënt en een macht, hebben we:

Merk op dat de hierboven gevonden functie van het type ax+b is, wat een affiene functie is. Dus je grafiek wordt een rechte lijn.

Ook is de helling a gelijk aan log₁₀ 5, wat een positief getal is, dus de grafiek zal toenemen. Op deze manier kunnen we opties b, c en e elimineren.

We blijven zitten met opties a en d, maar als x=0 hebben we gof = - log₁₀ 2 wat een negatieve waarde is zoals weergegeven in grafiek a.

alternatief a)

4) Unicamp - 2014

Onderstaande grafiek toont de biotische potentiaalcurve q (t) voor een populatie micro-organismen, in de tijd t.

Aangezien a en b reële constanten zijn, is de functie die deze potentiaal kan vertegenwoordigen

a) q(t) = bij + b
b) q(t) = ab^t
c) q(t) = at² + bt
d) q(t) = a + log _B t

Zie antwoord

Uit de getoonde grafiek kunnen we afleiden dat wanneer t=0, de functie gelijk is aan 1000. Verder is het ook mogelijk waar te nemen dat de functie niet affiene is, aangezien de grafiek geen rechte lijn is.

Als de functie van het type was q (t) = at²+bt, als t = 0, zou het resultaat gelijk zijn aan nul en niet aan 1000. Het is dus ook geen kwadratische functie.

Hoe log je in?_B0 is niet gedefinieerd, het kan ook niet de functie hebben q (t) = a + log_Bt.

De enige optie is dus de functie q(t) = ab^t. Gezien t=0, zal de functie q (t) = a zijn, aangezien a een constante waarde is, is het voldoende dat deze gelijk is aan 1000 om de functie in de gegeven grafiek te laten passen.

Alternatief b) q (t) = ab^t

5) Vijand (PPL) - 2015

De vakbond van een bedrijf stelt voor dat de salarisvloer van de klasse R$ 1.800,00 is, en stelt een vaste procentuele verhoging voor voor elk jaar dat aan werk wordt besteed. De uitdrukking die overeenkomt met het salarisvoorstel(len), als functie van anciënniteit (t), in jaren, is s (t) = 1800. (1,03)^t .

Volgens het voorstel van de vakbond zal het salaris van een professional van dit bedrijf met 2 jaar dienst in real

a) 7 416,00
b) 3.819,24
c) 3.709,62
d) 3.708,00
e) 1.909,62.

Zie antwoord

De door de vakbond voorgestelde uitdrukking voor het berekenen van het loon als functie van de tijd komt overeen met een exponentiële functie.

Om de salariswaarde in de aangegeven situatie te vinden, berekenen we de waarde van s, wanneer t=2, zoals hieronder aangegeven:

s(2) = 1800. (1,03)² = 1800. 1,0609 = 1 909,62

Alternatief e) 1 909,62

Lees ook:

• Exponentiële functie
• Logaritme
• Logaritme - Oefeningen
• Logaritme eigenschappen
• Potentiëring
• potentiëring oefeningen
• Affine functie
• Lineaire functie
• Gerelateerde functie-oefeningen
• Kwadratische functie
• Kwadratische functie - Oefeningen
• Wiskundige formules