Bisectrice is een rechte lijn die loodrecht op een lijnstuk staat en door het middelpunt van dit lijnstuk gaat.
Alle punten die tot de bissectrice behoren, liggen op gelijke afstand van de uiteinden van dit segment.
Onthoud dat, in tegenstelling tot de lijn, die oneindig is, het lijnsegment wordt begrensd door twee punten op een lijn. Dat wil zeggen, het wordt beschouwd als een onderdeel van de lijn.
Hoe de bissectrice te bouwen?
We kunnen de bissectrice van een rechte construeren met behulp van liniaal en kompas. Volg hiervoor deze stappen:
- Teken een lijnstuk en markeer aan de uiteinden punt A en punt B.
- Neem een maat en maak een opening die iets groter is dan de helft van de lengte van het segment.
- Plaats met deze opening het droge uiteinde van het kompas op punt A en teken een halve cirkel. Blijf bij dezelfde opening in de bar en doe hetzelfde bij punt B.
- De getraceerde halve cirkels kruisten elkaar op twee punten, een boven het lijnsegment en een eronder. Verbind met de liniaal deze twee punten, deze getekende lijn is de bissectrice van segment AB.
Bisectrice van een driehoek
De bissectrices van een driehoek zijn loodlijnen die door het middelpunt van elk van zijn zijden worden getrokken. Een driehoek heeft dus 3 bissectrices.
Het ontmoetingspunt van deze drie bissectrices heet circumcenter. Dit punt, dat op dezelfde afstand van elk van zijn hoekpunten ligt, is het middelpunt van de omgeschreven cirkel in de driehoek.
Mediaan, bissectrice en hoogte van een driehoek
In een driehoek kunnen we, naast bissectrices, medianen construeren, dit zijn segmenten van rechte lijnen die ook door het middelpunt van de zijden gaan.
Het verschil is dat terwijl de bissectrice a. vormt hoek 90º met de zijkant verbindt de mediaan het hoekpunt met het middelpunt van de tegenoverliggende zijden en vormt een hoek die al dan niet 90º kan zijn.
We kunnen nog steeds hoogtes plotten en bissectrices. De hoogte staat ook loodrecht op de zijden van de driehoek, maar maakt deel uit van het hoekpunt. In tegenstelling tot de bissectrice gaat de hoogte niet noodzakelijkerwijs door het middelpunt van de zijde.
Uitgaande van het hoekpunt kunnen we de interne bissectrices volgen, dit zijn segmenten van rechte lijnen die de hoeken van de driehoek verdelen in twee andere hoeken van dezelfde maat.
In een driehoek kunnen we drie medianen tekenen en ze ontmoeten elkaar op een punt genaamd barycentrum. Dit punt wordt het zwaartepunt van een driehoek genoemd.
Het zwaartepunt verdeelt de medianen in twee delen, aangezien de afstand van het punt tot het hoekpunt tweemaal de afstand van het punt tot de zijkant is.
Terwijl het ontmoetingspunt van hoogten (of hun uitbreidingen) wordt genoemd orthocentrum, wordt de vergadering van de interne bissectrices genoemd centrum.
opgeloste oefeningen
1) Epcar - 2016
Een land in de vorm van een rechthoekige driehoek wordt in twee percelen verdeeld door een omheining gemaakt op de bissectrice van de hypotenusa, zoals weergegeven in de afbeelding.
Het is bekend dat de zijden AB en BC van dit terrein respectievelijk 80 m en 100 m meten. Dus de verhouding tussen de omtrek van perceel I en de omtrek van perceel II, in die volgorde, is
Om de verhouding tussen de omtrekken te vinden, is het noodzakelijk om de afmetingen van alle zijden van perceel I en perceel II te kennen.
De afmetingen van de zijkanten kennen we echter niet ,
en
van lot I, noch de maat van
van perceel II.
Om te beginnen kunnen we de meetwaarde aan de zijkant vinden , door de stelling van Pythagoras toe te passen, dat wil zeggen:
We kunnen deze waarde ook vinden door op te merken dat we een veelvoud hebben van de Pythagorasdriehoek 3, 4 en 5.
Dus als één zijde 80 m (4. 20), de andere meet 100 m (5. 20), zodat de derde zijde slechts 60 m (3. 20).
We weten dat het hek de bissectrice van de hypotenusa is, dus het verdeelt deze zijde in twee gelijke delen en vormt een hoek van 90º met de zijde. Op deze manier is de PMB-driehoek een rechthoek.
Merk op dat driehoeken PMB en ACB gelijkaardig zijn, omdat ze hoeken hebben met dezelfde afmeting. de kant bellen van x hebben we die kant
zal gelijk zijn aan 80-x.
Daarom kunnen we de volgende verhoudingen schrijven:
De maat moeten we nog aan de zijkant vinden . Laten we deze zijde y noemen om deze waarde te vinden. Door gelijkvormigheid van driehoeken vinden we de volgende verhouding:
Nu we de afmetingen van alle kanten kennen, kunnen we de omtrek van de kavels berekenen:
Voordat u de omtrek van perceel II berekent, moet u zich realiseren dat de meting van zal gelijk zijn aan
, d.w.z
. Op deze manier wordt de omtrek:
De verhouding tussen de omtrekken is dus gelijk aan:
Alternatief: d)
2) Vijand - 2013
Televisie heeft de afgelopen jaren een ware revolutie doorgemaakt, zowel op het gebied van beeldkwaliteit, geluid als interactiviteit met de kijker. Deze transformatie is het gevolg van de conversie van het analoge signaal naar het digitale signaal. Veel steden beschikken echter nog steeds niet over deze nieuwe technologie. Om deze voordelen naar drie steden te brengen, is een televisiestation van plan een nieuwe zendmast te bouwen, die een signaal stuurt naar de antennes A, B en C, die al in deze steden bestaan. De locaties van de antennes zijn weergegeven in het cartesiaanse vlak:
De toren moet op gelijke afstand van de drie antennes worden geplaatst. De juiste plaats voor de constructie van deze toren komt overeen met het coördinaatpunt
een) (65; 35).
b) (53; 30).
c) (45; 35).
d) (50; 20).
e) (50; 30).
Omdat we willen dat de toren op gelijke afstand van de drie antennes wordt gebouwd, moet deze zich op een punt bevinden dat behoort tot de bissectrice van de lijn AB, zoals weergegeven in de onderstaande afbeelding:
Uit de afbeelding concluderen we dat de abscis van het punt gelijk zal zijn aan 50. Nu moeten we de ordinaatwaarde vinden. Laten we hiervoor bedenken dat de afstand tussen de AT- en AC-punten gelijk is:
Alternatief: e) (50; 30)
Lees meer over enkele gerelateerde onderwerpen:
- de stelling van Pythagoras
- Lijnstuk
- Evenwijdige lijnen
- conisch
