Enkelvoudige en samengestelde rente zijn berekeningen die worden uitgevoerd om de bedragen die bij de transacties betrokken zijn te corrigeren correct financieel, dat wil zeggen de correctie die wordt gemaakt bij het uitlenen of beleggen van een bepaald bedrag gedurende een periode van tijd.
Het betaalde of afgeloste bedrag is afhankelijk van de vergoeding die voor de transactie in rekening wordt gebracht en de periode waarin het geld wordt geleend of belegd. Hoe hoger de snelheid en tijd, hoe hoger deze waarde.
Verschil tussen enkelvoudige en samengestelde rente
Bij enkelvoudige rente wordt de correctie toegepast op elke periode en wordt alleen rekening gehouden met de initiële waarde. Bij samengestelde rente wordt gecorrigeerd op reeds gecorrigeerde bedragen.
Om deze reden wordt samengestelde rente ook wel rente over rente genoemd, dat wil zeggen dat het bedrag wordt aangepast over een bedrag dat al is aangepast.
Daarom zorgt correctie door samengestelde rente voor langere investerings- of leningsperioden ervoor dat het uiteindelijke bedrag dat wordt ontvangen of betaald groter is dan het bedrag dat wordt verkregen met enkelvoudige rente.
De meeste financiële transacties maken gebruik van de correctie door het samengestelde rentesysteem. Enkelvoudige rente is beperkt tot kortetermijntransacties.
Formule met enkelvoudige rente
Enkelvoudige rente wordt berekend met behulp van de volgende formule:
Wezen,
J: interesse
C: initiële transactiewaarde, kapitaal financiële wiskunde genoemd
i: rentepercentage (bedrag meestal uitgedrukt in een percentage)
t: transactieperiode
Ook kunnen wij het totale bedrag berekenen dat aan het einde van een vooraf bepaalde periode wordt afgelost (in geval van een investering) of het terug te betalen bedrag (in geval van een lening).
Deze waarde, het bedrag genoemd, is gelijk aan de som van de hoofdsom plus de rente, dat wil zeggen:
We kunnen de waarde van J in de bovenstaande formule vervangen en de volgende uitdrukking vinden voor het bedrag:
De formule die we hebben gevonden is een affiene functie, dus de waarde van de hoeveelheid groeit lineair als functie van de tijd.
Voorbeeld
Als een kapitaal van $ 1000,00 maandelijks $ 25,00 oplevert, wat is dan de jaarlijkse rentevoet in het enkelvoudige rentesysteem?
Oplossing
Laten we eerst elke hoeveelheid identificeren die in het probleem wordt aangegeven.
C = BRL 1000,00
J = BRL 25,00
t = 1 maand
ik = ?
Nu we alle hoeveelheden hebben geïdentificeerd, kunnen we de renteformule vervangen door:
Houd er echter rekening mee dat deze vergoeding maandelijks is, aangezien we de periode van 1 maand hanteren. Om de jaarlijkse vergoeding te vinden, moeten we deze waarde vermenigvuldigen met 12, dus we hebben:
i = 2.5.12 = 30% per jaar
Samengestelde rente formule
Het gekapitaliseerde bedrag aan samengestelde rente wordt gevonden door de volgende formule toe te passen:
Wezen,
M: bedrag
C: hoofdletter
ik: rentevoet
t: tijdsperiode
In tegenstelling tot enkelvoudige rente, houdt de formule voor het berekenen van het bedrag bij dit type kapitalisatie een exponentiële variatie in. Vandaar dat wordt verklaard dat de eindwaarde bij langere perioden aanzienlijk stijgt.
Voorbeeld
Bereken het bedrag dat wordt geproduceerd door R $ 2.000, toegepast tegen een tarief van 4% per kwartaal, na een jaar, in het samengestelde rentesysteem.
Oplossing
Door de gegeven informatie te identificeren, hebben we:
C = 2000
i = 4% of 0,04 per kwartaal
t = 1 jaar = 4 kwartalen
M = ?
Als we deze waarden in de formule voor samengestelde rente vervangen, hebben we:
Daarom zal het bedrag aan het einde van een jaar gelijk zijn aan R $ 2.339,71.
Opgelost Oefeningen
vraag 1
Berekening van bedrag
Wat is het bedrag van een investering van R$ 500,00, tegen een tarief van 3% per maand, in een periode van 1 jaar en 6 maanden, in enkelvoudige en samengestelde rentesystemen?
enkelvoudige rente
Gegevens:
C = 500
ik = 0.03
t = 18 maanden (1 jaar + 6 maanden)
Het bedrag is het startkapitaal plus rente.
M = C + J
De rente zijn:
J = C.i.t
J = 500.0.03.18 = 270
Het bedrag wordt dus:
M = C+J
M = 500+270
M = 770
Antwoord: Het bedrag van deze aanvraag is R$770,00.
Samengestelde rente
Als we de waarden in de formule toepassen, hebben we:
Antwoord: Het investeringsbedrag onder het samengestelde renteregime is R$851.21.
vraag 2
Kapitaalberekening
Voor een periode van 6 maanden werd een bepaald kapitaal aangewend. Het tarief was 5% per maand. Na deze periode was het bedrag R $ 5000,00. Bepaal de hoofdstad.
enkelvoudige rente
C als bewijs gebruiken in de formule met enkelvoudige rente:
M = C + J
M = C + C.i.t
M = C(1+i.t)
Isoleren van C in de vergelijking:
Samengestelde rente
Isoleren van C in de samengestelde renteformule en vervangen van de waarden:
Antwoord: Het kapitaal moet R $ 4201,68 zijn.
vraag 3
Renteberekening
Wat zou de maandelijkse rente zijn op een investering van $ 100.000 over een periode van acht maanden die een bedrag van $ 1600,- heeft verdiend?
enkelvoudige rente
De formule toepassen en C bewijzen:
M = C + J
M = C + C.i.t
M = C(1+i.t)
De waarden vervangen en de numerieke berekeningen uitvoeren:
in procenten
ik = 7,5%
Samengestelde rente
Laten we de formule voor samengestelde rente gebruiken en het bedrag delen door de hoofdsom.
vraag 4
Berekening aanvraagperiode (tijd)
Een kapitaal van R$8000 werd geïnvesteerd tegen een maandelijkse rente van 9%, waarmee een bedrag van R$10360,00 werd verkregen.
Hoe lang is dit kapitaal geïnvesteerd?
enkelvoudige rente
De formule gebruiken
Daarom is de tijd ongeveer 3,27 maanden.
Samengestelde rente
In deze stap worden we geconfronteerd met een exponentiële vergelijking.
Om het op te lossen, gebruiken we de logaritme, waarbij we een logaritme van hetzelfde grondtal toepassen op beide zijden van de vergelijking.
Met behulp van een eigenschap van de logaritmen aan de rechterkant van de vergelijking, hebben we:
vraag 5
UECE - 2018
Een winkel verkoopt een tv-toestel met de volgende betalingsvoorwaarden: een aanbetaling van R $ 800,00 en een betaling van R $ 450,00 twee maanden later. Als de prijs van de spot-tv R $ 1.200,00 is, dan is de eenvoudige maandelijkse rente die in de betaling is ingebed
A) 6,25%.
B) 7,05%.
C) 6,40%.
D) 6,90%.
Wanneer we de prijs van de tv in contanten (R$ 1.200,00) en het in twee termijnen betaalde bedrag vergelijken, zien we dat er een stijging was van R$ 50,00, aangezien het betaalde bedrag gelijk was aan R$ 1.250,00 (800 +450).
Om het in rekening gebrachte tarief te vinden, kunnen we de eenvoudige renteformule toepassen, aangezien er rente is toegepast op het debetsaldo (tv-waarde minus aanbetaling). Dus we hebben:
C = 1200 - 800 = 400
J = 450 - 400 = 50
t = 2 maanden
J = C.i.t
50 = 400.i.2
Alternatief: a) 6,25%
Gelijkwaardigheid van kapitaal
Bij Financiële Wiskunde is het essentieel om in gedachten te houden dat de bedragen die bij een transactie betrokken zijn in de tijd zullen worden verschoven.
Gezien dit feit impliceert het maken van een financiële analyse het vergelijken van huidige waarden met toekomstige waarden. We moeten dus een manier hebben om de gelijkwaardigheid van kapitaal op verschillende tijdstippen te maken.
Wanneer we het bedrag berekenen, in de formule voor samengestelde rente, vinden we de toekomstige waarde voor t tijdsperioden, met een snelheid i, van een huidige waarde.
Dit doe je door de term te vermenigvuldigen (1+i)Nee tegen contante waarde, dat wil zeggen:
Integendeel, als we de huidige waarde willen vinden wetende de toekomstige waarde, zullen we een deling doen, dat wil zeggen:
Voorbeeld:
Om een motorfiets voor een geweldige prijs te kopen, vroeg een persoon om een lening van R$ 6.000,00 van een financieringsmaatschappij tegen een maandelijkse rente van 15%. Twee maanden later betaalde hij R $ 3.000,00 en betaalde de volgende maand de schuld af.
Wat was het bedrag van de laatste termijn die de persoon betaalde?
Oplossing
Als de persoon het verschuldigde bedrag op de lening heeft kunnen afbetalen, is het bedrag dat is betaald in de eerste termijn plus de tweede termijn gelijk aan het verschuldigde bedrag.
Wel zijn de termijnen in de loop van de periode aangepast met maandelijkse rente. Om deze bedragen te matchen, moeten we daarom hun equivalente waarden op dezelfde datum weten.
We zullen de equivalentie uitvoeren rekening houdend met het tijdstip van de lening, zoals weergegeven in het onderstaande diagram:
Gebruik de formule voor twee en drie maanden:
Daarom was de laatste betaling R $ 5.675,25.
Oefening opgelost
vraag 6
Er werd een lening aangegaan tegen het maandtarief van i%, met behulp van samengestelde rente, in acht vaste termijnen gelijk aan P.
De debiteur heeft te allen tijde de mogelijkheid om de schuld vooruit te betalen, waarbij hij de dagwaarde van de nog te betalen termijnen betaalt. Na betaling van de 5e termijn besluit zij bij betaling van de 6e termijn de schuld af te lossen.
De uitdrukking die overeenkomt met het totale bedrag dat is betaald voor de terugbetaling van de lening is:
Antwoord: Letter a
