Berekening van kwadratische functies

DE kwadratische functie, ook wel genoemd 2e graads polynoomfunctie, is een functie die wordt weergegeven door de volgende uitdrukking:

f(x) = ax² + bx + c

Waar De, B en ç zijn echte getallen en De ≠ 0.

Voorbeeld:

f (x) = 2x²+ 3x + 5,

wezen,

een = 2
b = 3
c = 5

In dit geval is de kwadratische functiepolynoom van graad 2, omdat het de grootste exponent van de variabele is.

Hoe een kwadratische functie op te lossen?

Bekijk de stap voor stap door een voorbeeld van het oplossen van de kwadratische functie:

Voorbeeld

Vind a, b en c in de kwadratische functie gegeven door: f (x) = ax² + bx + c, zijnde:

f(-1) = 8
f (0) = 4
f(2) = 2

Laten we eerst de. vervangen X door de waarden van elke functie en dus hebben we:

f(-1) = 8
naar 1)² + b (–1) + c = 8
a - b + c = 8 (vergelijking I)

f (0) = 4
De. 0² + b. 0 + c = 4
c = 4 (vergelijking II)

f(2) = 2
De. 2² + b. 2 + c = 2
4a + 2b + c = 2 (vergelijking III)

Door de tweede functie f (0) = 4 hebben we al de waarde van c = 4.

Laten we dus de verkregen waarde vervangen door ç in vergelijkingen I en III om de andere onbekenden te bepalen (De en B):

instagram story viewer

(Vergelijking I)

a - b + 4 = 8
a - b = 4
a = b + 4

Aangezien we de vergelijking van De door vergelijking I, laten we substitueren in III om de waarde van te bepalen B:

(Vergelijking III)

4a + 2b + 4 = 2
4a + 2b = - 2
4 (b + 4) + 2b = - 2
4b + 16 + 2b = - 2
6b = - 18
b = - 3

Ten slotte, om de waarde van te vinden De we vervangen de waarden van B en ç die al gevonden zijn. Spoedig:

(Vergelijking I)

a - b + c = 8
a - (- 3) + 4 = 8
a = - 3 + 4
een = 1

Daarom zijn de coëfficiënten van de gegeven kwadratische functie:

een = 1
b = - 3
c = 4

Wortels van functie

De wortels of nullen van de tweedegraadsfunctie vertegenwoordigen de waarden van x zodanig dat f(x) = 0. De wortels van de functie worden bepaald door de tweedegraadsvergelijking op te lossen:

f(x) = ax² +bx + c = 0

Om de 2e graads vergelijking op te lossen, kunnen we verschillende methoden gebruiken, een van de meest gebruikte is het toepassen van de Bhaskara-formule, dat wil zeggen:

Voorbeeld

Vind de nullen van de functie f (x) = x² – 5x + 6.

Oplossing:

Wezen
een = 1
b = – 5
c = 6

Als we deze waarden in de formule van Bhaskara vervangen, hebben we:

x is gelijk aan teller min b plus of min vierkantswortel van b kwadraat min 4 a c einde van wortel boven noemer 2 einde van breuk is gelijk aan teller 5 plus of min vierkantswortel van 25 min 24 einde wortel boven noemer 2 einde breuk x met 1 subscript gelijk aan teller 5 plus 1 boven noemer 2 einde van breuk gelijk aan 6 meer dan 2 gelijk aan 3 x met 2 subscript gelijk aan teller 5 min 1 boven noemer 2 einde van breuk gelijk aan 4 meer dan 2 is gelijk aan 2

Dus de wortels zijn 2 en 3.

Merk op dat het aantal wortels van een kwadratische functie zal afhangen van de waarde die wordt verkregen door de uitdrukking: Δ = b² – 4. BC, die de discriminant wordt genoemd.

Dus,

als Δ > 0, de functie heeft twee echte en verschillende wortels (x₁ x₂);
als , de functie heeft geen echte wortel;
als Δ = 0, de functie heeft twee reële en gelijke wortels (x₁ = x₂).

Kwadratische functiegrafiek

De grafiek van 2e graads functies zijn krommen die parabolen worden genoemd. anders dan 1e graads functies, waar het mogelijk is om twee punten te kennen om de grafiek te tekenen, in kwadratische functies is het noodzakelijk om meerdere punten te kennen.

De kromme van een kwadratische functie snijdt de x-as bij de wortels of nullen van de functie, op maximaal twee punten, afhankelijk van de waarde van de discriminant (Δ). Dus we hebben:

Als Δ > 0, snijdt de grafiek de x-as op twee punten;
Als
Als Δ = 0, zal de parabool de x-as maar op één punt raken.

Er is nog een ander punt, genaamd de hoekpunt van de parabool, wat de maximale of minimale waarde van de functie is. Dit punt wordt gevonden met behulp van de volgende formule:

x met v subscript gelijk aan teller minus b boven noemer 2 tot einde van breuk spatie en y spatie met v subscript gelijk aan teller minus toename boven noemer 4 tot einde van breuk

Het hoekpunt vertegenwoordigt het maximale waardepunt van de functie wanneer de parabool naar beneden wijst en de minimumwaarde wanneer deze naar boven wijst.

Het is mogelijk om de positie van de concaafheid van de curve te bepalen door alleen het teken van de coëfficiënt te analyseren analyzing De. Als de coëfficiënt positief is, zal de concaafheid naar boven wijzen en als deze negatief is, zal deze naar beneden zijn, dat wil zeggen:

Concaafheid van de kwadratische functiegrafiek

Dus, om de grafiek van een 2e graads functie te schetsen, kunnen we de waarde van de. analyseren De, bereken de nullen van de functie, het hoekpunt en ook het punt waar de curve de y-as snijdt, dat wil zeggen, wanneer x = 0.

Uit de gegeven geordende paren (x, y) kunnen we de parabool num. construeren cartesiaans vlak, door de verbinding tussen de gevonden punten.

Toelatingsexamen Oefeningen met feedback

1. (Vunesp-SP) Alle mogelijke waarden van m die voldoen aan de 2x ongelijkheid² – 20x – 2m > 0, voor iedereen X behorend tot de set van reais, worden gegeven door:

a) m > 10
b) m > 25
c) m > 30
d) m e) m

Zie antwoord

Alternatief b) m > 25

2. (EU-CE) De grafiek van de kwadratische functie f (x) = ax² + bx is een parabool waarvan het hoekpunt het punt (1, – 2) is. Het aantal elementen van de verzameling x = {(– 2, 12), (–1,6), (3,8), (4, 16)} dat bij de grafiek van deze functie hoort is:

naar 1
b) 2
c) 3
d) 4

Zie antwoord

Alternatief b) 2

3. (Cefet-SP) Weten dat de vergelijkingen van een systeem x zijn. y = 50 en x + y = 15, de mogelijke waarden voor X en ja zij zijn:

a) {(5.15), (10.5)}
b) {(10.5), (10.5)}
c) {(5.10), (15.5)}
d) {(5.10), (5.10)}
e) {(5.10), (10.5)}

Zie antwoord

Alternatief e) {(5.10), (10.5)}