De hoeken van 30º, 45º en 60º worden opmerkelijk genoemd omdat dit de hoeken zijn die we het vaakst berekenen.
Daarom is het belangrijk om de sinus-, cosinus- en tangenswaarden van deze hoeken te kennen.
Tabel met opmerkelijke hoeken
De onderstaande tabel is erg handig en kan eenvoudig worden samengesteld door de aangegeven stappen te volgen.
Waarde van sinus en cosinus van 30e en 60e
U hoeken 30º en 60º zijn complementair, dat wil zeggen dat ze optellen tot 90º.
We hebben de waarde van 30º sinus gevonden door de verhouding tussen de andere kant en de hypotenusa te berekenen. De cosinuswaarde van 60º is de verhouding tussen de aangrenzende zijde en de hypotenusa.
Op deze manier worden de 30º-sinus en de 60º-cosinus van de onderstaande driehoek gegeven door:
We vinden dus dat de waarde van de sinus van 30° gelijk is aan de waarde van de cosinus van 60°. Hetzelfde gebeurt met de 60e sinus en de 30e cosinus, want:
Dus wanneer twee hoeken zijn complementair, is de sinuswaarde van de ene gelijk aan de cosinuswaarde van de andere.
Om de waarde van 30º sinus (60º cosinus) en 30º cosinus (60º sinus) te vinden, beschouwen we een gelijkzijdige driehoek ABC met zijden gelijk aan L, hieronder weergegeven:
De hoogte (h) van de gelijkzijdige driehoek valt samen met de mediaan, dus de hoogte verdeelt de zijde ten opzichte van het midden ().
Ook valt de hoogte samen met de bissectrice. Op deze manier wordt de hoek ook gehalveerd, zoals weergegeven in de afbeelding.
Laten we ook bedenken dat de hoogtewaarde wordt gegeven door:
.
Om de sinus en cosinus van 30º te berekenen, beschouwen we de rechthoekige driehoek AHB, die werd verkregen uit de driehoek ABC.
Dus we hebben:
en
Waarde van sinus en cosinus van 45º
We zullen de sinus- en cosinuswaarde van de hoek van 45° berekenen uit een vierkant met zijde L hieronder weergegeven:
De diagonaal van het vierkant is de bissectrice van de hoek, dat wil zeggen dat de diagonaal de hoek in tweeën deelt (45º). Ook de diagonale maatregelen .
Om de sinus- en cosinuswaarde van 45º te vinden, bekijken we de rechthoekige driehoek ABC die in de afbeelding wordt getoond:
Dan:
en
Raaklijnwaarde van 30e, 45e en 60e
Om de tangens van de opmerkelijke hoeken te berekenen, gebruiken we de trigonometrische verhouding:
Dus:
Lees voor meer informatie ook:
- Goniometrische tabel
- Sinus, cosinus en tangens
- Trigonometrie in de rechthoekdriehoek
- wet der zonden
- cosinus wet
Opgelost Oefeningen
1) Een zwemmer steekt een rivier over in een hoek van 30° ten opzichte van een van de oevers. Wetende dat de breedte van de rivier 40 meter is, bepaal dan de afstand die de zwemmer heeft afgelegd om de rivier over te steken.
2) Vijand - 2010
Een atmosferische ballon, gelanceerd in Bauru (343 kilometer ten noordwesten van São Paulo), afgelopen zondagavond, het viel op maandag in Cuiabá Paulista, in de regio Presidente Prudente, waardoor boeren bang werden van regio. Het artefact maakt deel uit van het Hibiscus Project-programma, ontwikkeld door Brazilië, Frankrijk, Argentinië, Engeland en Italië, om het gedrag van de ozonlaag te meten, en de afdaling ervan vond plaats na naleving van de tijd
verwachte meting.
Op de datum van het evenement zagen twee mensen de ballon. Eén bevond zich 1,8 km van de verticale positie van de ballon en zag hem onder een hoek van 60º; de andere bevond zich 5,5 km van de verticale positie van de ballon, uitgelijnd met de eerste, en in dezelfde richting, zoals te zien is in de figuur, en zag hem onder een hoek van 30º.
Wat is de geschatte hoogte van de ballon?
a) 1,8 km
b) 1,9 km
c) 3,1 km
d) 3,7 km
e) 5,5km
