Matrix is een tabel gevormd door reële getallen, gerangschikt in rijen en kolommen. De getallen die in de matrix verschijnen, worden elementen genoemd.
Profiteer van de opgeloste en becommentarieerde toelatingsexamenvragen om al je twijfels over deze inhoud weg te nemen.
Problemen met toelatingsexamen opgelost
1) Unicamp - 2018
Laat a en b reële getallen zijn zodat de matrix A = voldoet aan vergelijking A2= aA + bI, waarbij I de identiteitsmatrix van orde 2 is. Dus het product ab is gelijk aan
a) −2.
b) −1.
c) 1.
d) 2.
Om de waarde van product a.b te weten te komen, moeten we eerst de waarde van a en b weten. Laten we dus eens kijken naar de vergelijking die in het probleem wordt gegeven.
Laten we, om de vergelijking op te lossen, de waarde van A. berekenen2, wat wordt gedaan door matrix A zelf te vermenigvuldigen, dat wil zeggen:
Deze bewerking wordt uitgevoerd door de rijen van de eerste matrix te vermenigvuldigen met de kolommen van de tweede matrix, zoals hieronder weergegeven:
Op deze manier de matrix A2 het is hetzelfde als:
Gezien de waarde die we zojuist hebben gevonden en onthouden dat in de identiteitsmatrix de elementen van de hoofddiagonaal gelijk zijn aan 1 en de andere elementen gelijk zijn aan 0, zal de vergelijking zijn:
We moeten nu de matrix A vermenigvuldigen met het getal a en de identiteitsmatrix met het getal b.
Onthoud dat om een getal te vermenigvuldigen met een array, we het getal vermenigvuldigen met elk element van de array.
Onze gelijkheid is dus gelijk aan:
Als we de twee matrices toevoegen, krijgen we:
Twee matrices zijn gelijk als alle corresponderende elementen gelijk zijn. Op deze manier kunnen we het volgende systeem schrijven:
Isoleren van de a in de tweede vergelijking:
Als we de gevonden waarde voor a in de eerste vergelijking substitueren, vinden we de waarde van b:
2 + b = 1
b = 1 - 2
b = -1
Het product wordt dus gegeven door:
De. b = - 1. 2
De. b = - 2
Alternatief: a) −2.
2) Unesp - 2016
Een punt P, met coördinaten (x, y) van het orthogonale cartesiaanse vlak, wordt weergegeven door de kolommatrix. , evenals de kolommatrix
vertegenwoordigt, in het orthogonale cartesiaanse vlak, het punt P van de coördinaten (x, y). Dus het resultaat van matrixvermenigvuldiging
is een kolommatrix die, in het orthogonale cartesiaanse vlak, noodzakelijkerwijs een punt vertegenwoordigt dat is
a) een 180º rotatie van P met de klok mee, en met het middelpunt op (0, 0).
b) een rotatie van P over 90° tegen de klok in, en met middelpunt op (0, 0).
c) symmetrisch van P ten opzichte van de horizontale x-as.
d) symmetrisch van P ten opzichte van de verticale y-as.
e) een rotatie van P over 90º met de klok mee, en met middelpunt op (0, 0).
Het punt P wordt weergegeven door een matrix, zodat de abscis (x) wordt aangegeven door het element a.11 en de ordinaat (y) door element a21 van de matrix.
Om de nieuwe positie van punt P te vinden, moeten we de vermenigvuldiging van de gepresenteerde matrices oplossen en het resultaat is:
Het resultaat vertegenwoordigt de nieuwe coördinaat van punt P, dat wil zeggen, de abscis is gelijk aan -y en de ordinaat is gelijk aan x.
Om de transformatie te identificeren die de positie van punt P heeft ondergaan, stellen we de situatie in het Cartesiaanse vlak voor, zoals hieronder aangegeven:
Daarom is punt P, dat eerst in het 1e kwadrant (positieve abscis en ordinaat) lag, verplaatst naar het 2e kwadrant (negatieve abscis en positieve ordinaat).
Bij het verplaatsen naar deze nieuwe positie werd het punt tegen de klok in gedraaid, zoals weergegeven in de afbeelding hierboven door de rode pijl.
We moeten nog bepalen wat de waarde van de rotatiehoek was.
Door de oorspronkelijke positie van punt P te verbinden met het midden van de Cartesiaanse as en hetzelfde te doen met betrekking tot zijn nieuwe positie P', krijgen we de volgende situatie:
Merk op dat de twee driehoeken in de figuur congruent zijn, dat wil zeggen dat ze dezelfde afmetingen hebben. Op deze manier zijn hun hoeken ook hetzelfde.
Bovendien zijn hoeken α en θ complementair, aangezien de som van de interne hoeken van driehoeken gelijk is aan 180º en aangezien de driehoek rechthoekig is, zal de som van deze twee hoeken gelijk zijn aan 90º.
Daarom kan de rotatiehoek van het punt, in de figuur aangegeven met, alleen gelijk zijn aan 90º.
Alternatief: b) een rotatie van 90° van P tegen de klok in, met middelpunt op (0, 0).
3) Unicamp - 2017
Aangezien a een reëel getal is, beschouw de matrix A = . Dus de2017 het is hetzelfde als
De)
B)
ç)
d)
Laten we eerst proberen een patroon voor de machten te vinden, aangezien het veel werk is om matrix A 2017 keer met zichzelf te vermenigvuldigen.
Onthoud dat bij matrixvermenigvuldiging elk element wordt gevonden door de resultaten van het vermenigvuldigen van de elementen in de rij van de ene met de elementen in de kolom van de andere op te tellen.
Laten we beginnen met het berekenen van A2:
Het resultaat was de identiteitsmatrix, en als we een matrix vermenigvuldigen met de identiteitsmatrix, is het resultaat de matrix zelf.
Daarom is de waarde van A3 gelijk zal zijn aan matrix A zelf, aangezien A3 = A2. DE.
Dit resultaat wordt herhaald, dat wil zeggen, wanneer de exponent even is, is het resultaat de identiteitsmatrix en wanneer het oneven is, zal het de matrix A zelf zijn.
Aangezien 2017 oneven is, is het resultaat gelijk aan matrix A.
Alternatief: b)
4) UFSM - 2011
Het gegeven diagram geeft de vereenvoudigde voedselketen van een bepaald ecosysteem weer. Pijlen geven de soort aan waarmee de andere soort zich voedt. Door een waarde van 1 toe te kennen wanneer de ene soort zich voedt met een andere en nul, wanneer het tegenovergestelde gebeurt, hebben we de volgende tabel:
De matrix A = (aij)4x4, gekoppeld aan de tabel, heeft de volgende opleidingswet:
Aangezien het rijnummer wordt aangegeven door i en het kolomnummer wordt aangegeven door j, en kijkend naar de tabel, zien we dat wanneer i gelijk is aan j, of i groter is dan j, het resultaat nul is.
De posities die worden ingenomen door 1 zijn die waarin het kolomnummer groter is dan het regelnummer.
Alternatief: c)
5) Unesp - 2014
Beschouw de matrixvergelijking A + BX = X + 2C, waarvan de onbekende matrix X is en alle matrices kwadratisch zijn van de orde n. De noodzakelijke en voldoende voorwaarde voor deze vergelijking om een enkele oplossing te hebben is dat:
a) B – I ≠ O, waarbij I de identiteitsmatrix van orde n is en O de nulmatrix van orde n.
b) B is inverteerbaar.
c) B ≠ O, waarbij O de nulmatrix van orde n is.
d) B – I is inverteerbaar, waarbij I de identiteitsmatrix van orde n is.
e) A en C zijn inverteerbaar.
Om de matrixvergelijking op te lossen, moeten we de X aan één kant van het isgelijkteken isoleren. Laten we hiervoor eerst de matrix A aan beide kanten aftrekken.
A - A + BX = X + 2C - A
BX = X + 2C - A
Laten we nu de X aftrekken, ook aan beide kanten. In dit geval wordt de vergelijking:
BX - X = X - X + 2C - A
BX - X = 2C - A
X.(B - I) =2C - A
Aangezien I de identiteitsmatrix is, is het resultaat de matrix zelf wanneer we een matrix vermenigvuldigen met de identiteit.
Dus om de X te isoleren, moeten we nu beide zijden van het gelijkteken vermenigvuldigen met de inverse matrix van (B-I), dat wil zeggen:
X. (B - I) (B - I) - 1 = (B - ik) - 1. (2C-A)
Onthoud dat wanneer een matrix omkeerbaar is, het product van de matrix door de inverse gelijk is aan de identiteitsmatrix.
X = (B - ik) - 1. (2C-A)
De vergelijking zal dus een oplossing hebben als B - I inverteerbaar is.
Alternatief: d) B – I is inverteerbaar, waarbij I de identiteitsmatrix van orde n is.
6) Vijand - 2012
Een student noteerde de tweemaandelijkse cijfers van enkele van zijn vakken in een tabel. Hij merkte op dat de numerieke gegevens in de tabel een 4x4-matrix vormden en dat hij jaargemiddelden voor deze disciplines kon berekenen met behulp van het product van matrices. Alle tests hadden hetzelfde gewicht en de tabel die hij kreeg, wordt hieronder weergegeven:
Om deze gemiddelden te verkrijgen, vermenigvuldigde hij de matrix verkregen uit de tabel met
Het rekenkundig gemiddelde wordt berekend door alle waarden op te tellen en te delen door het aantal waarden.
De student moet dus de cijfers van de 4 bimesters optellen en het resultaat door 4 delen of elk cijfer met 1/4 vermenigvuldigen en alle resultaten optellen.
Met behulp van matrices kunnen we hetzelfde resultaat bereiken door matrixvermenigvuldiging uit te voeren.
We moeten echter niet vergeten dat het alleen mogelijk is om twee matrices te vermenigvuldigen als het aantal kolommen in de ene gelijk is aan het aantal rijen in de andere.
Omdat de matrix van noten 4 kolommen heeft, moet de matrix die we gaan vermenigvuldigen 4 rijen hebben. We moeten dus vermenigvuldigen met de kolommatrix:
Alternatief: en
7) Fuvest - 2012
Beschouw de matrix , op wat De is een reëel getal. Wetende dat A inverse A. toegeeft-1 wiens eerste kolom is
, de som van de elementen van de hoofddiagonaal van A-1 het is hetzelfde als
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9
Het vermenigvuldigen van een matrix met zijn inverse is gelijk aan de identiteitsmatrix, dus we kunnen de situatie als volgt weergeven:
Als we de vermenigvuldiging van de tweede rij van de eerste matrix met de eerste kolom van de tweede matrix oplossen, krijgen we de volgende vergelijking:
(naar 1). (2a - 1) + (a + 1). (- 1) = 0
2e2 - een - 2a + 1 + (-a) + (-1) = 0
2e2 - 4e = 0
2e (a - 2) = 0
a - 2 = 0
een = 2
Als we de waarde van a in de matrix substitueren, hebben we:
Nu we de matrix kennen, gaan we de determinant ervan berekenen:
De som van de hoofddiagonaal is dus gelijk aan 5.
Alternatief: a) 5
Zie voor meer informatie ook:
- matrices
- determinanten
- Regel van Sarrusrus
- Stelling van Laplaceplace
- Getransponeerde matrix
