Eerstegraads stelsels van vergelijkingen worden gevormd door een reeks vergelijkingen die meer dan één onbekende presenteren.
Het oplossen van een systeem is het vinden van de waarden die tegelijkertijd aan al deze vergelijkingen voldoen.
Veel problemen worden opgelost door stelsels van vergelijkingen. Daarom is het belangrijk om de oplossingsmethoden voor dit type berekening te kennen.
Profiteer van de opgeloste oefeningen om al uw twijfels over dit onderwerp op te lossen.
Becommentarieerde en opgeloste problemen
1) Zeemansleerlingen - 2017
De som van een getal x en tweemaal een getal y is - 7; en het verschil tussen de triple van dat getal x en getal y is gelijk aan 7. Daarom is het juist om te stellen dat het product xy gelijk is aan:
a) -15
b) -12
c) -10
d) -4
e) - 2
Laten we beginnen met het maken van de vergelijkingen, rekening houdend met de situatie die in het probleem wordt voorgesteld. Zo hebben we:
x + 2.y = - 7 en 3.x - y = 7
De waarden van x en y moeten tegelijkertijd aan beide vergelijkingen voldoen. Daarom vormen ze het volgende stelsel vergelijkingen:
We kunnen dit stelsel oplossen door de methode van optellen. Laten we hiervoor de tweede vergelijking vermenigvuldigen met 2:
De twee vergelijkingen toevoegen:
Als we de waarde van x in de eerste vergelijking substitueren, hebben we:
1 + 2j = - 7
2j = - 7 - 1
Het product xy is dus gelijk aan:
x.y = 1. (- 4) = - 4
Alternatief: d) - 4
2) Militaire Universiteit/RJ - 2014
Een trein rijdt altijd met een constante snelheid van de ene stad naar de andere. Wanneer de rit wordt gemaakt met 16 km/h meer snelheid, neemt de tijdsbesteding af met twee en een half uur, en wanneer de reis wordt gemaakt met 5 km/h minder snelheid, neemt de tijdsbesteding toe met een uur. Wat is de afstand tussen deze steden?
a) 1200 km
b) 1000 km
c) 800 km
d) 1400 km
e) 600 km
Aangezien de snelheid constant is, kunnen we de volgende formule gebruiken:
Vervolgens wordt de afstand gevonden door te doen:
d = v.t
Voor de eerste situatie hebben we:
v1 = v + 16 en t1 = t - 2,5
Deze waarden vervangen in de afstandsformule:
d = (v + 16). (t - 2,5)
d = v.t - 2.5v + 16t - 40
We kunnen v.t vervangen door d in de vergelijking en vereenvoudigen:
-2.5v +16t = 40
Voor de situatie waarin de snelheid afneemt:
v2 = v - 5 en t2 = t + 1
Dezelfde vervanging maken:
d = (v -5). (t+1)
d = v.t + v -5t -5
v - 5t = 5
Met deze twee vergelijkingen kunnen we het volgende systeem samenstellen:
Als we het systeem oplossen met de substitutiemethode, isoleren we de v in de tweede vergelijking:
v = 5 + 5t
Deze waarde vervangen in de eerste vergelijking:
-2,5 (5 + 5t) + 16t = 40
-12.5 - 12.5t + 16t = 40
3,5t =40 + 12,5
3,5t = 52,5
Laten we deze waarde vervangen om de snelheid te vinden:
v = 5 + 5. 15
v = 5 + 75 = 80 km/u
Om de afstand te vinden, vermenigvuldigt u eenvoudig de gevonden snelheids- en tijdwaarden. Dus:
d = 80. 15 = 1200 km
Alternatief: a) 1200 km
3) Zeemansleerlingen - 2016
Een student betaalde een snack van 8 reais in 50 cent en 1 reais. Wetende dat de student voor deze betaling 12 munten heeft gebruikt, bepaal je respectievelijk de bedragen van 50 cent en een echte munt die werd gebruikt om de snack te betalen en de juiste optie aan te vinken.
a) 5 en 7
b) 4 en 8
c) 6 en 6
d) 7 en 5
e) 8 en 4
Rekening houdend met x het aantal munten van 50 cent, y het aantal munten van 1 dollar en het betaalde bedrag gelijk aan 8 reais, kunnen we de volgende vergelijking schrijven:
0,5x + 1j = 8
We weten ook dat er 12 munten zijn gebruikt bij de betaling, dus:
x + y = 12
Het systeem samenstellen en oplossen door toevoeging:
De gevonden waarde van x in de eerste vergelijking vervangen:
8 + y = 12
y = 12 - 8 = 4
Alternatief: e) 8 en 4
4) Colégio Pedro II - 2014
Uit een doos met B witte ballen en P zwarte ballen werden 15 witte ballen verwijderd, waarbij tussen de overige ballen de verhouding van 1 witte tot 2 zwarte overbleef. Vervolgens werden 10 zwarten verwijderd, waarbij in de doos een aantal ballen achterbleven in de verhouding van 4 blanken tot 3 zwarten. Een stelsel vergelijkingen voor het bepalen van de waarden van B en P kan worden weergegeven door:
Gezien de eerste situatie die in het probleem wordt aangegeven, hebben we de volgende verhouding:
Door deze verhouding "in een kruis" te vermenigvuldigen, hebben we:
2 (B - 15) = P
2B - 30 = P
2B - P = 30
Laten we hetzelfde doen voor de volgende situatie:
3 (B - 15) = 4 (P - 10)
3B - 45 = 4P - 40
3B - 4P = 45 - 40
3B - 4P = 5
Door deze vergelijkingen in een systeem samen te voegen, vinden we het antwoord op het probleem.
Alternatief: a)
5) Faetec - 2012
Carlos loste in één weekend 36 meer rekenoefeningen op dan Nilton. Wetende dat het totale aantal opgeloste oefeningen door beide 90 was, is het aantal opgeloste oefeningen gelijk aan:
a) 63
b) 54
c) 36
d) 27
e) 18
Als we x beschouwen als het aantal opgaven dat door Carlos is opgelost en y als het aantal opgaven dat is opgelost door Nilton, kunnen we het volgende systeem opzetten:
Als we x vervangen door y + 36 in de tweede vergelijking, krijgen we:
y + 36 + y = 90
2j = 90 - 36
Deze waarde vervangen in de eerste vergelijking:
x = 27 + 36
x = 63
Alternatief: a) 63
6) Vijand/PPL - 2015
De schiettent van een pretpark zal een prijs van R$20 aan de deelnemer geven, elke keer dat hij het doelwit raakt. Aan de andere kant, elke keer dat hij het doel mist, moet hij $ 10,00 betalen. Er zijn geen initiële kosten om het spel te spelen. Een deelnemer loste 80 schoten en ontving uiteindelijk R$ 100,00. Hoe vaak heeft deze deelnemer het doel geraakt?
a) 30
b) 36
c) 50
d) 60
e) 64
Waar x het aantal schoten is dat het doel raakt en y het aantal verkeerde schoten, hebben we het volgende systeem:
We kunnen dit systeem oplossen door de methode van optellen, we zullen alle termen van de tweede vergelijking met 10 vermenigvuldigen en de twee vergelijkingen optellen:
Daarom raakte de deelnemer het doel 30 keer.
Alternatief: a) 30
7) Vijand - 2000
Een verzekeringsmaatschappij verzamelde gegevens over auto's in een bepaalde stad en ontdekte dat er jaarlijks gemiddeld 150 auto's worden gestolen. Het aantal gestolen X-merkauto's is het dubbele van het aantal gestolen Y-merkauto's, en X- en Y-merken zijn samen goed voor ongeveer 60% van de gestolen auto's. Het verwachte aantal gestolen auto's van het merk Y is:
a) 20
b) 30
c) 40
d) 50
e) 60
Het probleem geeft aan dat het aantal gestolen auto's van de merken x en y samen gelijk is aan 60% van het totaal, dus:
150.0,6 = 90
Gezien deze waarde kunnen we het volgende systeem schrijven:
Als we de waarde van x in de tweede vergelijking substitueren, hebben we:
2j + y = 90
3j = 90
Alternatief: b) 30
Zie ook: Oefeningen op 1e graads vergelijking met een onbekende