Afstand tussen twee punten

De afstand tussen twee punten is de maat van het lijnsegment dat ze verbindt.

We kunnen deze maat berekenen met behulp van analytische meetkunde.

Afstand tussen twee punten op het vliegtuig

In het vlak is een punt volledig bepaald, wetende dat er een geordend paar (x, y) bij hoort.

Om de afstand tussen twee punten te kennen, zullen we ze in eerste instantie in het Cartesiaanse vlak weergeven en vervolgens deze afstand berekenen.

Voorbeelden:

1) Wat is de afstand tussen punt A (1.1) en punt B (3.1)?

d (A, B) = 3 - 1 = 2

2) Wat is de afstand tussen punt A (4.1) en punt B (1,3)?

Merk op dat de afstand tussen punt A en punt B gelijk is aan de schuine zijde van de rechthoekige driehoek met benen 2 en 3.

Dus we zullen de. gebruiken de stelling van Pythagoras om de afstand tussen de gegeven punten te berekenen.

[schar)]² = 3² + 2² = √13

Formule van afstand tussen twee punten op het vlak

Om de afstandsformule te vinden, kunnen we de berekening in voorbeeld 2 generaliseren.

Voor twee willekeurige punten, zoals A(x₁yy₁) en B (x₂ja₂), we hebben:

Lees voor meer informatie ook:

• vlakke geometrie
• cartesiaans plan
• Rechtdoor

Afstand tussen twee punten in de ruimte

We gebruiken een driedimensionaal coördinatensysteem om punten in de ruimte weer te geven.

Een punt is volledig bepaald in de ruimte wanneer er een geordend drietal (x, y, z) aan verbonden is.

Om de afstand tussen twee punten in de ruimte te vinden, kunnen we ze in eerste instantie weergeven in het coördinatensysteem en van daaruit de berekeningen uitvoeren.

Voorbeeld:

Wat is de afstand tussen punt A (3,1.0) en punt B (1,2.0)?

In dit voorbeeld zien we dat punt A en B tot het xy-vlak behoren.

De afstand wordt gegeven door:

[schar)]² = 1² + 2² = √5

Formule van de afstand tussen twee punten in de ruimte

Lees voor meer informatie ook:

• Ruimtelijke geometrie
• Lijnvergelijking
• Wiskundige formules

Opgelost Oefeningen

1) Een punt A behoort tot de abscis (x-as) en ligt op gelijke afstand van de punten B (3.2) en C (-3.4). Wat zijn de coördinaten van punt A?

Zie antwoord

Aangezien punt A tot de as van de abscis behoort, is de coördinaat ervan (a, 0). We moeten dus de waarde van a vinden.

(0 - 3)² + (tot - 2)² = (0 + 3)² + (tot -4)²
9 + tot² - 4a +4 = 9 + a² - 8e + 16e
4e = 12
een = 3
(3.0) zijn de coördinaten van punt A.

2) De afstand van punt A (3,a) tot punt B (0,2) is gelijk aan 3. Bereken de ordinaatwaarde a.

Zie antwoord

3² = (0 - 3)² + (2 - een)²
9 = 9 + 4 - 4a +a²
De² - 4e +4 = 0
een = 2

3) ENEM - 2013

Televisie heeft de afgelopen jaren een ware revolutie doorgemaakt, zowel op het gebied van beeldkwaliteit, geluid als interactiviteit met de kijker. Deze transformatie is het gevolg van de conversie van het analoge signaal naar het digitale signaal. Veel steden beschikken echter nog steeds niet over deze nieuwe technologie. Om deze voordelen naar drie steden te brengen, is een televisiestation van plan een nieuwe zendmast te bouwen, die een signaal stuurt naar de antennes A, B en C, die al in deze steden bestaan. De locaties van de antennes zijn weergegeven in het cartesiaanse vlak:

De toren moet op gelijke afstand van de drie antennes worden geplaatst. De juiste plaats voor de constructie van deze toren komt overeen met het coördinaatpunt

een) (65; 35)
b) (53; 30)
c) (45; 35)
d) (50; 20)
e) (50; 30)

Zie antwoord

Correct alternatief e: (50;30)

Zie ook: afstand tussen twee punten oefeningen

4) ENEM - 2011

Een wijk van een stad werd gepland in een vlak gebied, met parallelle en loodrechte straten, die blokken van dezelfde grootte begrenzen. In het volgende Cartesiaanse coördinatenvlak bevindt deze buurt zich in het tweede kwadrant, en de afstanden in de
assen worden gegeven in kilometers.

De rechte lijn van vergelijking y = x + 4 vertegenwoordigt de planning van de route van de ondergrondse metrolijn die de buurt en andere regio's van de stad zal doorkruisen.
Op punt P = (-5,5) bevindt zich een openbaar ziekenhuis. De gemeenschap vroeg de planningscommissie om een ​​metrostation zo te plannen dat de afstand tot het ziekenhuis, gemeten in een rechte lijn, niet meer dan 5 km zou zijn.
In antwoord op het verzoek van de gemeenschap heeft de commissie terecht betoogd dat hieraan automatisch zou worden voldaan, aangezien de bouw van een station op het punt al was voorzien.

een) (-5.0)
b) (-3.1)
c) (-2.1)
d) (0,4)
e) (2.6)

Zie antwoord

Corrigeer alternatief b: (-3.1).

Zie ook: oefeningen over analytische meetkunde